Электрон и дельта-функция Дирака | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Абдурахимов А. У., Мадаминов Х. М., Зиёитдинов Ж. Н. Электрон и дельта-функция Дирака // Молодой ученый. — 2017. — №1. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/135/37896/ (дата обращения: 22.10.2018).



Статья посвящена рассмотрению некоторых свойств дельта-функции и теорию Дирака. А также приведены несколько примеров по применению этой функций к механическим физическим задачам.

Ключевые слова: классическая теория, элементарная частица, античастица, вспомогательная функция, стержень с переменной сечением, обобщенная функция плотности, центр тяжести, уравнения движения

Article is devoted consideration of some properties - function and the theory of Dirak. And also on application of this of functions some examples are resulted in mechanical physical problems.

Keywords: the classical theory, an elementary particle, an antiparticle, auxiliary function, a core from a variable the section, the generalised function of density, the centre of gravity, the movement equations

Введение. Как известно, первая элементарная частица — электрон был открыт английским физиком Дж. Дж. Томсоном в 1897 году. С тех пор прошло почти 120 лет [1, 2].

В классической электронной теории (П. К. Друде, Г. А. Лоренц, Дж.Дж. Томсон) принималось что таким механизмом являются неупругие соударения электронов с ионами атома кристаллической решётки твёрдых тел. В отличии от классической теории Поль Дирак создал свою теорию и применил к этой теории - функцию.

Определение дельта-функции. Поль Адриен Морис Дирак — крупнейший английский физик-теоретик — прославился в 1929 году. Он строил такую теорию, которая описывала бы движение электронов в электрических и магнитных полях с любой скоростью, вплоть до скорости, близкой к скорости света [3]. Речь идёт о квантовой теории, которая объясняет также тот факт, что в атоме электроны могут двигаться только по определенным орбитам, с определёнными значениями энергии. Дирак знал, что электрон обладает определённым моментом вращения, т. е. подобен вращающемуся волчку, и учитывал это при создании своей теории. Когда же теория была им создана, оказалось, что из неё следует ещё и вывод, не предусмотренный Дираком: возможно существование частиц с такой же массой, как электроны, но с противоположным (положительным) знаком заряда. В течение двух лет считали, что теория Дирака хороша для описания движения электрона, а вывод о частицах с положительным зарядом ошибочен, и когда от него удаётся избавиться, теория станет отличной.

Но в 1932 году частицы с положительным зарядом — позитроны, или, как их ещё называют, античастицы электрона, были открыты. Их появление в теории из недостатка превратилось в триумф, в главное достижение теории: открытие Дирака было первым примером появления новых частиц «на острие пера теоретика». Этот пример поучителен с точки зрения взаимоотношений опыта и теории: теория основывается на определённых данных опыта, но последовательное логическое и математическое развитие теории выводит за пределы того материала, который был положен в её основу, приводит к новым предсказаниям.

Дирак является не только одним из лучших физиков — теоретиков нашей планеты, но и замечательным математиком. В своём классическом труде «Основы квантовой механики» Дирак ввёл и широко использовал новую функцию, которой он дал обозначение : читается «дельта-функция» или «дельта-функция Дирака».

Дельта функция определяется следующим образом: при любом , т. е. при х<0 и при х>0. При х=0, . Кроме того, задаётся условие

(1)

Наглядно можно представить себе график функции, похожая на , как показано на рис. 1.

Рис. 1. График функции, похожей на

Чем более узкой мы сделаем полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т. е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия при .

Важнейшая формула интеграла с имеет вид

(2)

В самом деле, так как при , то значение интеграла не зависит от значений ни при каком . Существенно только значение там, где , т. е. при x. Значит, в той узкой области, где , умножается на . Следовательно, из условия (1) получается формула (2). Все эти рассуждения можно провести в обратном порядке, т. е. можно сказать, что есть такая функция, для которой при любом виде вспомогательной функции имеет место формула (2). Это одно условие приводит ко всем заключениям о виде , которые были раньше использованы для ее определения. Из формулы (2) следует и то, что при , и то, что , и то, что .

Применения дельта-функции кфизическим задачам. Рассмотрим стержень переменного сечения, к которому прикреплено несколько отдельных точечных грузов (рис. 2). Пусть масса, приходящаяся на единицу длины стержня, выражается функцией . Масса всего стержня без грузов равна , а вместе с грузами .

Рис. 2. Отдельные точечные грузы, прикреплённые к стержень

С учетом выше приведенных положение центра тяжести определяется формулой , а момент инерции относительно начала координат определяется как, .

Но с помощью дельта-функции можно включить отдельные массы в обобщенную функцию плотности. Обозначим новую функцию . Она выражается формулой

(3)

В самом деле, рассматривая общее распределение массы по стержню, можно сказать, что в тех точках, где находятся грузы, плотность имеет бесконечные подскоки. С помощью новой функции все величины записываются единообразно и более кратко:

, . (4)

Понятие дельта-функции позволяет объединит непрерывно распределенные в точечные массы в одном общем выражении.

Другой пример применения дельта — функции относится, к движению материальной точки. Напомним основное уравнение (2 — закон Ньютона)

Под влиянием удара возникает короткий импульс силы. С другой стороны, действие импульса силы не зависит от закона изменения силы, если только сила достаточно кратковременна. Эти соображения приводят к тому, что дельта-функцию можно построить из различных функций , об условиях, когда можно конечную функцию заменять обобщенной, особенной функцией .

Если конкретная форма функции силы несущественна в задаче об ударе, это значит, что можно поменят на дельта-функцию , где — момент удара, а — импульс силы. Проведем формально по всем правилам интегрирование уравнения движения под действием единичной дельта-силы. Пусть до удара частица покоилась в начале координат: , , . Уравнение имеет вид .

Интегрируя, получим .

Скорость выражается ступенчатой функцией времени (рис. 3):

, , . Следующей шаг заключается в определении пути. Из получим ответ , .

График пути представлен на соседнем рис. 4.

Рис. 3. График скорости

Рис. 4. График пути

Для графика пути характерен излом в точке . Здесь ещё раз убеждаемся в том, что вторая производная функции, имеющей излом, содержит дельта-функцию: функция имеет излом; согласно уравнению движения сила пропорциональна , с изломом получено как раз, при силе пропорциональной , так что при наличии излома содержит , что и требовалось доказать.

Теперь сделаем следующий шаг. Задача о движении тела под действием заданной силы линейна. Это значит, что если есть два решения и под действием двух разных сил и , то сумма решений является решением, соответствующим действию суммы сил . Такое свойство есть следствие того просто факта, что вторая производная суммы функцией есть каждой функции. Принимая во внимание получим что и требовалось — сумма решений описывает движение под действием суммы сил.

Заключение. Нужно сделать только одну оговорку: решения уравнения движения зависят не только от закона силы, но и от начальных условий, т. е. начального положения и начальной скорости рассматриваемой массы. Если мы выберем эти условия так: , , ; , , , то и сумма решений будет удовлетворить тому же условию , , .

Такой способ получения решения имеет очень большое общее значение. Резюмируем: если для линейной системы известно решение, относящееся к воздействию дельта-функции ( в примере), получается простым суммированием или интегрированием.

Литература:

  1. Мухин К. Н. Занимательная ядерная физика. — М.: Атомиздат, 1969. — 145 с.
  2. Бекжонов Р. Б. Элементарная ядерная физика. — T.: Учитель, 1982. — 407 с (на узбекском языке).
  3. Т. М. Муминов, А. Б. Холикулов, Ш. X. Xушмуродов. Физика атомного ядра и частиц. — T.: НОФУ. 2009. -487 с (на узбекском языке).
Основные термины (генерируются автоматически): функция, теория, график пути, сумма решений, вспомогательная функция, самое дело, положительный заряд, действие суммы сил, график функции, элементарная частица.


Ключевые слова

классическая теория, элементарная частица, античастица, вспомогательная функция, стержень с переменной сечением, обобщенная функция плотности, центр тяжести, уравнения движения

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Поскольку функция является первообразной функции , то нахождение связано с интегрированием функции

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t лет при годовом удельном

2. Основы экономической теории.

Построение графиков функций в решении задач по общей...

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию процесса, рассматриваемого в задаче. В ряде случаев такие графики открывают новый взгляд на изучаемый процесс и являются весьма полезным инструментом решения поставленной...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: Где — произвольное вещественное число...

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

К вопросу о динамической устойчивости маятниковых систем

На рис. 4, а изображена диаграмма сил, действующих на массу физической модели маятника

Такое расположение позволяет исследовать влияние вибрации на маятник без учета действия силы тяжести.

Литература. 1. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10]. Безразмерный параметр  характеризует толщину стенок цилиндра.

Применение математических моделей при изучении физических...

графики столбчатых функции приведены на рис.2.

Каждую столбчатую функцию можно преобразовать в. Поэтому сумма таких функций можно преобразовать в.

Функцию влияния можно подсчитать теоретически, как и выше, а более сложных задачах определить...

О некоторых задачах теории мультипликативных функций

Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций.

Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&# ; ОНТИ, 1936. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&# ; ИЛ, 1953.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения: все остальное стало делом техники.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол.

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Поскольку функция является первообразной функции , то нахождение связано с интегрированием функции

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t лет при годовом удельном

2. Основы экономической теории.

Построение графиков функций в решении задач по общей...

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию процесса, рассматриваемого в задаче. В ряде случаев такие графики открывают новый взгляд на изучаемый процесс и являются весьма полезным инструментом решения поставленной...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: Где — произвольное вещественное число...

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

К вопросу о динамической устойчивости маятниковых систем

На рис. 4, а изображена диаграмма сил, действующих на массу физической модели маятника

Такое расположение позволяет исследовать влияние вибрации на маятник без учета действия силы тяжести.

Литература. 1. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10]. Безразмерный параметр  характеризует толщину стенок цилиндра.

Применение математических моделей при изучении физических...

графики столбчатых функции приведены на рис.2.

Каждую столбчатую функцию можно преобразовать в. Поэтому сумма таких функций можно преобразовать в.

Функцию влияния можно подсчитать теоретически, как и выше, а более сложных задачах определить...

О некоторых задачах теории мультипликативных функций

Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций.

Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&# ; ОНТИ, 1936. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&# ; ИЛ, 1953.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения: все остальное стало делом техники.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Поскольку функция является первообразной функции , то нахождение связано с интегрированием функции

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t лет при годовом удельном

2. Основы экономической теории.

Построение графиков функций в решении задач по общей...

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию процесса, рассматриваемого в задаче. В ряде случаев такие графики открывают новый взгляд на изучаемый процесс и являются весьма полезным инструментом решения поставленной...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: Где — произвольное вещественное число...

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

К вопросу о динамической устойчивости маятниковых систем

На рис. 4, а изображена диаграмма сил, действующих на массу физической модели маятника

Такое расположение позволяет исследовать влияние вибрации на маятник без учета действия силы тяжести.

Литература. 1. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10]. Безразмерный параметр  характеризует толщину стенок цилиндра.

Применение математических моделей при изучении физических...

графики столбчатых функции приведены на рис.2.

Каждую столбчатую функцию можно преобразовать в. Поэтому сумма таких функций можно преобразовать в.

Функцию влияния можно подсчитать теоретически, как и выше, а более сложных задачах определить...

О некоторых задачах теории мультипликативных функций

Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций.

Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&# ; ОНТИ, 1936. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&# ; ИЛ, 1953.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения: все остальное стало делом техники.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол.

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Поскольку функция является первообразной функции , то нахождение связано с интегрированием функции

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t лет при годовом удельном

2. Основы экономической теории.

Построение графиков функций в решении задач по общей...

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию процесса, рассматриваемого в задаче. В ряде случаев такие графики открывают новый взгляд на изучаемый процесс и являются весьма полезным инструментом решения поставленной...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

Ключевые слова: функции, дифференциальные уравнения, Бессель, свойства функций. Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: Где — произвольное вещественное число...

Функции Бесселя | Статья в журнале «Молодой ученый»

Все производные от функции как по переменной , так и по переменной ν могут вычисляться перестановкой суммирования и дифференцирования.

Эта функция является линейной комбинацией частных решений и , следовательно, она тоже является решением уравнения (1).

К вопросу о динамической устойчивости маятниковых систем

На рис. 4, а изображена диаграмма сил, действующих на массу физической модели маятника

Такое расположение позволяет исследовать влияние вибрации на маятник без учета действия силы тяжести.

Литература. 1. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье.

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

Здесь In(u), Kn(u) ― модифицированные функции Бесселя [10]. Безразмерный параметр  характеризует толщину стенок цилиндра.

Применение математических моделей при изучении физических...

графики столбчатых функции приведены на рис.2.

Каждую столбчатую функцию можно преобразовать в. Поэтому сумма таких функций можно преобразовать в.

Функцию влияния можно подсчитать теоретически, как и выше, а более сложных задачах определить...

О некоторых задачах теории мультипликативных функций

Работа посвящена задачам, где изучается асимптотическое поведение суммы значений мультипликативных функций.

Ингам А.Е. Распределение простых чисел.&# ; ОНТИ, 1936. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана.&# ; ИЛ, 1953.

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения: все остальное стало делом техники.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол.

Задать вопрос