В современном курсе школьной геометрии в части развития пространственного мышления сделан большой упор на овладение простыми геометрическими понятиями, а также на навыки решения вычислительных задач без дополнительной возможности исследования взаимного расположения фигур как с теоретической, так и практической точки зрения.
При этом пространственное (оно же геометрическое) мышление является важной составляющей человеческого интеллекта и позволяет ориентироваться в пространстве, визуализировать и применять решения всевозможных задач. Большая часть инженерно-технических специальностей, строители, архитекторы, дизайнеры одежды, визажисты, конструкторы — все, кто работает с пространственными объектами, обязаны уверенно владеть данным типом мышления, рассматривая его как один из основных своих рабочих инструментов.
Представленный ниже набор задач позволяет развить геометрическое мышление на плоскости, научиться оперировать простыми двумерными и одномерными структурами, представлять их взаимное расположение, различать возможные комбинации от невозможных. Вместе с этим частично закрепляются навыки формальной логики и последовательного мышления, путём использования алгоритмов строгих логических умозаключений, само по себе использование которых будет полезно, как и в школьном курсе математики, так и при обучении в университете.
Перечень задач для развития пространственного мышления школьников.
1. Какие геометрические объекты возможно получить с помощью пересечения:
а) двух отрезков?
б) отрезка и треугольника?
в) двух треугольников?
г) двух выпуклых четырехугольников?
г) выпуклого и невыпуклого четырехугольника?
д) двух невыпуклых четырехугольников?
е) треугольника и выпуклого четырехугольника?
ж) треугольника и невыпуклого четырехугольника?
з) отрезка и выпуклого четырехугольника?
и) отрезка и невыпуклого четырехугольника?
2. Какое условие должны быть выполнено, чтобы при пересечении двух отрезков получился отрезок?
3. При пересечении отрезка и треугольника получилась точка. Возможно ли, что:
а) эта точка не является ни одной из вершин треугольника?
б) эта точка не является ни одной из вершин отрезка?
в) эта точка не является ни одной из вершин треугольника и ни одним из концов отрезка?
г) эта точка не является вершиной треугольника и не лежит ни на одной из его сторон?
4. При пересечении треугольников A и B получился отрезок Y.
а) Возможно ли, что отрезок Y не совпадает со стороной хотя бы одного из треугольников?
б) Возможно ли, что одна из вершин отрезка Y является вершиной треугольника А, но не является вершиной треугольника B?
в) Возможно ли, что обе вершины отрезка Y не являются вершинами ни треугольника А, ни треугольника B?
г) Одна из вершин отрезка Y не является вершиной треугольника А, и не лежит на сторонах треугольников А и B?
5. При пересечении произвольного четырехугольника Х и отрезка Y получились отрезок A и точка B. Возможно ли, что:
а) Отрезок A содержит сторону четырехугольника Х?
б) Точка В не является вершиной четырёхугольника X?
в) четырехугольник Х является выпуклым?
6. Какие геометрические объекты возможно получить с помощью пересечения:
а) прямой и отрезка?
б) луча и отрезка?
в) двух прямых?
г) луча и прямой?
д) двух лучей?
7. При пересечении отрезка X и луча Y получился отрезок Z. Возможно ли, что:
а) отрезок Z не совпадает с отрезком X?
б) отрезок Z не совпадает с отрезком X, и вершина луча Y не принадлежит этому отрезку?
в) вершина луча Y является также одной из вершин отрезка X?
г) одна из вершин отрезка X не принадлежит лучу Y?
8. При пересечении лучей A и B получилась точка N. Возможно ли, что:
а) точка N является вершиной луча A, но не является вершиной луча B?
б) точка N является вершиной обоих лучей?
в) лучи A и B лежат на одной прямой?
г) точка N не является вершиной луча A, и лучи A и B лежат на одной прямой?
9. Могут ли два луча не пересекаться, и при этом не быть параллельными?
10. Какие геометрические объекты возможно получить с помощью пересечения:
а) прямой и треугольника?
б) луча и треугольника?
в) прямой и выпуклого четырехугольника?
г) прямой и невыпуклого четырехугольника?
д) луча и выпуклого четырехугольника?
е) луча и невыпуклого четырехугольника?
11. При пересечении треугольника Х и луча Y получился отрезок Z. Возможно ли, что:
а) отрезок Z совпадает с одной из сторон треугольника Х?
б) обе вершины отрезка Z не лежат на сторонах треугольника Х?
в) одна из вершин отрезка Z не лежит на сторонах треугольника Х?
г) одна из вершин отрезка Z не лежит на сторонах треугольника Х, и отрезок Z параллелен одной из сторон треугольника Х?
При использовании этих задач на практике как дополнение к основному курсу математики следует обратить особое внимание, на то, что наибольшие сложности при решении данных задач школьниками возникли из-за непонимания формального определения понятия «пересечение». Пересечение множеств в теории множеств — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно всем данным множествам. Однако данное определение возможно спутать с бытовым определением пересечения, как с местом, где пересекается что-нибудь.
Например, в качестве результата пересечения двух отрезков школьники сразу же называют точку, при этом большинству из них нужны дополнительные разъяснения, чтобы в качестве пересечения увидеть отрезок в качестве результата.
Также существенная часть школьников, несмотря на знание точного определения угла (фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости), при реальном использовании этой фигуры в задачах не могла перейти от одномерного представления угла (как простое объединение двух лучей) к двумерному (как части плоскости).
Литература:
- Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. — М.: Педагогика, 1980.
- Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств.
- Материалы сайта www.as2x2.com
