Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Баранова Анастасия Яковлевна, студент;

Шенмаер Ирина Владимировна, студент;

Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент

Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет (г. Челябинск)

В статье проведено полное исследование периодичности решений линейного разностного уравнения третьего порядка. Указаны все возможные значения коэффициентов, при которых каждое решение уравнения является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Ключевые слова: разностное уравнение третьего порядка, периодические решения, циклы, предельные циклы

Введение ипостановка задачи

Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка

,(1)

где детально проводилось в [1, 3, 5]. В работе [1] получены условия осциллируемости (колебательности) решений уравнения (1) в виде неравенств — ограничений на коэффициенты уравнения. В работе [5] полностью описана область асимптотической устойчивости уравнения (1) и поведение решений этого уравнения на границе области.

Сформулируем необходимые определения.

Определение 1. Решение уравнения (1) называется периодическим с периодом (k-циклом или k-периодическим), если для всех

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что — k-периодическая, и для всех

Известно [4], что периодические решения возникают на границе области асимптотической устойчивости. Для периодичности всех решений уравнения (1) необходимо, чтобы характеристический многочлен уравнения (1)

имел простые комплексно сопряженные корни, по модулю равные 1 или простой действительный корень .

Используя результаты работы [5], в этой статье мы описываем все возможные значения коэффициентов уравнения (1), при которых каждое решение является либо чисто периодическим, либо предельным циклом.

Основные результаты

Случай 1. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение , применив метод введения вспомогательного угла. Получим , где .

Введем величину Решение уравнения (1) является k-периодическим тогда и только тогда, когда . Получаем, что Это равенство выполняется для всеx тогда и только тогда, когда . Получаем следующее

Утверждение 1. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам , то решение имеет вид .

Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид .

Зададим начальные условия . Тогда, решая систему

относительно , получаем:

В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде

.

При многочлен имеет два комплексно сопряженных корня: таких, что .

Преобразуем решение, применив метод вспомогательного угла. Получим , где . Тогда Равенство возможно только при четном k и . Получаем следующее

Утверждение 2. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда , где .

Замечание. Если , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству , то решение имеет вид и является периодическим, с периодом 2.

Случай 3. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Очевидно, что в общем случае все решения уравнения (1) являются предельными 2-циклами (здесь где — 2-цикл, , ).

Случай 4. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе .

Общее решение уравнения (1) имеет вид . Характеристический полином имеет следующие корни: действительный корень , , пару комплексно сопряженных корней , , , .

В этом случае получаем следующее

Утверждение 3. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , то все решения уравнения (1) являются предельными циклами тогда и только тогда, когда , где , .

Работа поддержана грантом ЮУрГГПУ и КГПУ им. В. П. Астафьева (проект № 16–1022).

Литература:

1. Parhi N., Tripathy A. K. On the behavior of solutions of a class third order difference equations // Journal of Difference Equations and Applications. — 2002. — V. 8, No. 5. — P. 415–426.
2. Schmeidel E. L., Janglajew K. R. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations // Advances in Difference Equations. — 2012. — 2012:195. URL:https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/1687–1847–2012–195. doi:10.1186/1687–1847–2012–195. (дата обращения: 10.12.2016)
3. Баранова А. Я., Шенмаер И. В., Нигматулин Р. М. Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях // Молодой ученый. — 2016. — № 25(129). — С. 113–122.
4. Козак А. Д., Новоселов О. Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, Вып. 2. — С. 211–215.
5. Нигматулин Р. М., Кипнис М. М. Свойства дискретных систем третьего порядка на границе их областей устойчивости // Фундаментальные исследования. — 2015. — № 9–1. — С. 39–43; URL: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=38962 (дата обращения: 10.12.2016).