Annotation. One of the ways of historical processes of teaching mathematics and reflectthe principleiswidely known tostudentswith biographies ofthe scientistsof Central Asia, as well as thepresentation oftheir rolein the development of mathematics science. The articlehighlights the role ofthe achievements ofthe scientistsof Central Asia.Using thematerialsof the CentralAsianscholarsallowa better view ofitshistoricity.The article analyzes thescientific achievementsof scientistsof CentralAsia,Al-Khwarizmi, Al-Farabi, Omar Khayyam, Al-Tusi, Al-Kashi, and its formationof the fundamentalconcepts of mathematics and it was looking out the principle of reflection of historical processes in the teaching of mathematics.
Keywords:historyof mathematics, wordproblems, scientists of Central Asia, the algorithms, postulates,binomialformula.
Одним из основных принципов дидактических теорий является то, что при обучении любому предмету необходимо обращать внимание на историю возникновения и развития этой научной дисциплины. Поэтому при обучении математике в школах, наряду с основными теориями, методами, формулами и их этапами становления, большое значение имело бы использование сведений об ученых, внесших значительный вклад в развитие математической науки. Известно, что у учащихся повышается интерес к получению знаний в несколько раз, возрастает их активность в усвоении материала при совокупном изложении исторической информации с основными математическими материалами. Это подтверждается и тем, что открытие глубин (генезис) изучаемого материала во взаимосвязи с научным творчеством отдельного ученого и исторического аспекта вызывает особый интерес у обучающихся. К сожалению, учителя математики не на должном уровне владеют историческими сведениями, так как не обеспечены необходимой литературой. Сегодня крайне малочисленны методические рекомендации по использованию исторических материалов в процессе обучения математике. Поэтому цель настоящей статьи заключается в том, чтобы и незначительном объеме восполнить этот пробел. Считаем, что при преподавании математики в школах нашей республики, необходимо широкое знакомство учеников с биографиями математиков — выходцев из Центральной Азии. Бурное развитие научных достижений в последние годы двадцатого века явилось результатом научных исследований и открытий в прошлые века. Сегодняшний высокий уровень математической науки базируется на подробных исследованиях прошлого. Изначально развитие математической науки на Западе длилось с 650 г. до н. э. до 400 г.н. э. Этот период известен нам открытиями таких знаменитых ученых-математиков, как Фалес, Пифагор, Евклид, Архимед, Жлоудис, Диаппандос, которых называют математиками первого этапа. Математики второго этапа появились, как нам известно, только через 1000 лет. Этот период начинается с 1436 года и связан с именем Иохана Мюллера, он продолжается и сегодня. Самыми известными математиками второго этапа считаются Паскаль, Ньютон, Лейбниц, Бернулли и другие.
В то время, когда на Западе (с 400 по 1400 годы) математическая наука, окутанная черной ночью, где была угроза забвения, пришла в упадок, восточный мусульманский мир в лице таких математиков, как Табир ибн-и-Хайян, Эс — Суфи, Эль-Фазари, Эль-Гизхери, Аль-Хорезми, Фергани, Эль -Рази, Аль-Фараби, Аль- Беруни, Омар Хайям показали дорогу идущим в своем столетии и на последующие века.
К сожалению, некоторые западные математики вместо того, чтобы быть благодарными за источник вдохновения учителям Востока, присваивали их труды, возвеличивая себя. Во главе несправедливо забытых математиков стоит Омар Хайям, имеющий авторство по нескольким теориям и формулам по алгебре. Поэтому мы знаем его не как ученого- математика, а как поэта — стихотворца, писавшего четырехстрочные стихи-рубаи.
Книги по истории математики зачастую ограничиваются описанием трудов ученых — математиков Европы, а восточные (особенно труды математиков Средней Азии) упоминаются в них вскользь. Имеется немало фактов, когда многочисленные открытия ученых — математиков Востока несправедливо приписываются математикам Запада. Например, формула Бинома под названием «Формула Ньютона» или «Законодательная таблица вычисления значений коэффициентов Бинома», так называемый «треугольник Паскаля», были даны в трактатах Омара Хайяма за 300 лет до их появления.
Другой факт: несправедливо забытый центрально — азиатский математик Аль-Каши, впервые использовавший в системном виде десятичные дроби и внесший вклад в теорию дробей. Вместо него признание получил французский ученый Симон Стевин, живший и творивший спустя 150 лет после Аль-Каши.
Если говорить о математиках Средней Азии, то необходимо отметить имя Мухамедда Аль-Хорезми (780–850 гг.). Его именем назван термин «алгоритм». Впервые в его научном труде употреблён термин «алгебра»[2]. Европейцы ознакомились с системами десятичных вычислений, которые вначале появились в Индии. Благодаря переведенным на латинский язык трактатам по алгебре «Аль-Жабр и Аль-Мукабала» Аль-Хорезми, где ученый описал решение линейно-квадратных и кубических уравнений, составил таблицы синусов и тангенсов, мир знает его имя. В арифметическом трактате Аль-Хорезми даны способы обозначения любого числа через десяток «индийских цифр» и нуль, а также включены действия с целыми числами: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение из корня. В труде Аль-Хорезми приведены арифметические действия с шестьюдесятьюзначными дробями.
А в алгебраических трактатах под названием «Аль-Жабр» (перенос уменьшающего члена с одной стороны равенства в другую, как увеличивающий) и «Аль-Мукабала» (сокращение увеличивающих членов с двух сторон равенства) были представлены действия с числовыми операциями, хотя еще не было известным понятие об отрицательных числах. Эти операции дали возможность привести к каноническому виду различные линейные и квадратные уравнения. Работы Мухамеда Аль-Хорезми дают возможность использования данных при рассмотрении свойств линейных и квадратных уравнений, геометрических фигур, при изучении тригонометрических функций, а также при упрощении иррациональных выражений. Еще один ученый — корифей науки Абу-Наср Аль-Фараби (870–950 гг.), внес большой вклад в развитие математической науких [3]. Он создал теорию простых дробей, дал определение алгебры, расширил понятие чисел до положительных действительных чисел, написал трактаты по геометрии и тригонометрии. Из исторических документов известно, что Аль-Фараби принадлежит математическое обоснование описания музыкальных нот. Таким образом, такие работы Аль-Фараби, как операции над дробями, действия над числовыми множествами, можно использовать при обучении учащихся геометрии и тригонометрии. Особенно интересны мысли ученого по возникновению математической абстракции. Необходимо в начале обучения вводить понятия на базе видимых и ощущаемых элементов по геометрии, а затем — связанных с ними функционально зависимых (цвет, вес, основа составляющих тел) тел, и только потом — природу прямой и точки.
Бесспорен естественный путь усвоения математических понятий. Однако по курсу математики рассматриваются отдельные общеизвестные фигуры (прямоугольный параллелепипед, шар), которые по программе нецелесообразны для I-IX классов. Поэтому в новой школьной программе по курсу математики рассмотрен процесс обучения во взаимосвязи начальной информации о пространственных телах Вселенной с материалами планиметрии.
Омар Хайям (1048–1131 гг.) известен только как поэт — мыслитель. А в действительности, в Средние века он был известен как крупный ученый — математик [1]. В его трактатах «Проблемы арифметики», «О доказательствах задач Аль-Жабр и Аль-Мукабала», «Объяснение сложных начал книг Евклида» рассматриваются способы извлечения из корня целых чисел любой степени. В алгебре показаны не только числа, но и непрерывные величины, классифицируются линейно — квадратические и кубические уравнения, а также даны геометрические решения кубических уравнений. Сделавший научные открытия по алгебре, физике, астрономии Омар Хайям написал книгу «Эль- Жебр», которая была переведена в 1851 году — на немецкий, в 1857 году — на французский, в 1918 году — на английский языки. У нас же только после 1940 года начали переводить его книги, причём, только стихи. Необходимо отметить, что до сих пор книга «Эль- Жебр» не переведена ни на один тюркский язык, хотя книга была написана им во время сорокалетней службы во дворце Султана Меликшаха, где он работал в качестве директора Нишапурской обсерватории. При доказательстве постулатов Евклида Омар Хайям рассмотрел четырехугольник, у которого углы при основании прямые, а боковые стороны — равные. К сожалению, этот четырехугольник не был назван его именем, он назван «четырехугольником Саккери» в честь итальянского математика Саккери, жившего в XVIII веке.
В результате исследования солнечных часов были открыты тригонометрические величины «тангенс» и «котангенс». Авторами этих понятий являются Аль-Марфази, Аль-Хабаш, Аль-Хасий, которые составили первоначальные таблицы тангенса и котангенса.Начиная с IX века, научным центром в Средней Азии считались Самарканд, Бухара, Мерв и другие города. В этих краях бурное развитие получила математическая наука. Среди ученых своими работами выделялся Мухаммед
Аль-Хорезми, открывший алгебру. В его книге по алгебре одна четвертая часть была посвящена практическим решениям задач. Аль -Хорезми известен трудами по астрономии и географии. В этих областях по математике прославился Омар Хайям живший в XI-XII веках. Омар Хайям не только философ, поэт, астроном, но и математик, составивший в 1079 году точный календарь.
Во время внеклассных занятий по математике необходимо прививать заинтересованность учащихся к предмету через решения кубических уравнений, биноминальных формул и геометрических элементов Н. И. Лобачевского, связывая их с трудами Омара Хайяма.
Еще один из выходцев Центральной Азии — крупный математик Насир Ад-Дин Мухаммед Ат-Туси (1201–1274 гг.) оставил следующие труды: «Известие об Евклиде», «Трактат о полном четырехугольнике», «Известие о книге Архимеда», «Шар и цилиндр» и другие[4].Среди них «Трактат о полном четырехугольнике» считается первоначальным систематическим курсом тригонометрии. До этого тригонометрия упоминалась в книгах по астрономии. Таким образом, в пояснении к книге Архимеда он развил теорию отношений. Рассмотрел функции y=x(a-x)2 и y=x(a-x) и нашел экстремумы этих функций.
Великий азербайджанский ученый Насреддин Туси (1201–1274 гг.), внесший огромный вклад в такие науки, как астрономия, геометрия, тригонометрия, теория отношений, прославил тюркоязычные народы. Он доказал теорему синуса и тангенса. И в своей книге «Шакл-ул-Кита» написал о таких понятиях, дошедших до нас, как «линии синуса», «синусоид», «косинусоид», «тангенсоид», «котангенсоид», «секансоид», «косекансоид».
Жамшид Гиясседин Аль-Каши (умер в 1436 г.) систематизировал десятичные дроби. Он одним из первых написал труд по десятичным дробям [2]. До него использовались шестидесятичные дроби и при их вычислении встречалось множество трудностей и неудобств. Его известный трактат «Ключ арифметики», состоящий из пяти книг, рассматривает действие над целыми числами и извлечение из корня любой степени целых чисел. Вторая книга посвящена теории дробей. В результате принятой концепции десятичных дробей были определены аналогичные свойства между шестьюдесятью и десятичными дробями. В следующей книге излагается выполнение действий над целыми и дробными числами в шестидесятичной системе, так как в то время астрономам было удобно проводить вычисления в шестидесятичной системе. Последние две книги были посвящены геометрии и алгебре. Аль-Каши в геометрии рассмотрел измерения многоугольников, кругов и частей кругов, призм, пирамид, цилиндров, конусов, шара и правильных многогранников. Самым интересным является применение способов, близких к измерениям интеграла куполов зданий. В алгебре, наряду с описанием трудов его предшественников, приведены решения и классификация уравнений четвертой степени, правила теории пропорций, суммирование числовых рядов.
Работа Аль-Каши «Трактат об окружностях» была посвящена по возможно точному вычислению отношения длины окружности к его диаметру. В результате учёный нашел приближенные к 17-десятичным значениям величину π в виде — 3,14159265358979325 (здесь неверным оказалось только последнее число).При изучении теории Пифагора рекомендуем использовать задачу Аль-Каши: «Найдите пик, вертикально воткнутый вовнутрь водного бассейна, конец которого в виде трех локтей торчит на суше. Подул ветер и пик наклонился, на суше виден только конец пика (острие пика находится в первоначальном состоянии: воткнутым в воду). При этом расстояние между отметками начального положения водной глади и до конца пика равно пяти локтям».
Задачу можно решить, обозначив длину пика буквенным значением Х и использовав теорему Пифагора. Тогда уравнение предстанет в таком виде:(Х-3)2+52=Х2
Решив это уравнение, получим размер длины ствола пика в виде Х=5⅔.
Необходимо отметить интересный факт, что подобные задачи многие считают задачами Л.Н Толстого: здесь считается замена пика на камыш, а измеритель — замена локтя на метр.
Если разговор идёт о математиках Центральной Азии, нельзя не сказать об Абул-Вафе Мухаммед Аль-Бузжани (940–998), рассматривавшем решение задач геометрических построений, параболы, эллипсы, гиперболы, а также ученых Среднего и Ближнего Востока, впервые использовавших понятие отрицательных чисел, как переданных в «долг». Ему же принадлежит доказательство теоремы сферических синусов. Здесь нельзя не упомянуть работу Абу-Райхан Мухаммад Аль-Бируни (970–1048 гг.). Следующий знаменитый ученый Аль-Бируни известен определением радиуса земли в следующем виде:
R=(R+h)cos α
R=h cosα/ (1-cosα)
где: R — радиус земли, h — высота горы, α — угол измерения.
Дошли до нашего времени его труды: «Определение хорды в круге», «Проектирование в плоскости групп звезд и изображение сфер на плоскости», а также книги Абу-Али Хусеин ибн Сина (970–1037 гг.) «Коротко об Евклиде», «Наука о числах» и другие работы [5, с. 356].
Таким образом, ученые Центральной Азии внесли весомый, ни с чем не сравнимый вклад в развитие всех разделов математики. Особенно необходимо отметить следующие разделы математики: способы извлечения из квадратического и кубического корня чисел любых степеней; решение всех видов кубических уравнений геометрическим путем; расширение чисел до десятичных действительных чисел, составление точных тригонометрических таблиц; способы проведения действий с шестьюдесятьюзначными и десятьюзначными дробями и т. д. Поэтому в истории развития математики вышеуказанная теория взаимосвязи совместно с теорией параллельных линий явились толчком для двух крупных открытий; включение в математику нового раздела о переменных величинах и формулирование Евклидовой геометрии [6, с. 62].
Подводя итоги, необходимо перечислить основные достижения ученых Средней Азии в IX-XV веках в следующем виде:
по арифметике и комбинаторике
- развили систему шестидесятичных вычислений;
- составили теорию десятичных дробей;
- нашли пути извлечения чисел из корня;
- определили применение формул Ньютона для любых натуральных показателей степени;
- расширили понятия о действительных числах.
по алгебре
- алгебра была отделена как основной самостоятельный предмет математики;
- применили числовую алгебру в измерительных геометриях и составили геометрическую теорию по решению кубических уравнений.
по тригонометрии
- составили основу плоской и сферической тригонометрии;
- завершили в полном объеме составление тригонометрических таблиц.
Мы привели имена отдельных ученых Средней Азии, внесших большой вклад в развитие математической науки. Все эти открытия школьные учителя математики не только должны знать, но и уметь использовать их в процессе обучения школьников, знакомить их с историей математики. Использование исторических материалов в учебном процессе сможет:
- активизировать интерес к предмету;
- обогатить познавательную сферу деятельности;
- оказать помощь в математической культуре.
Тогда у учеников появится ощущение гордости за своих предков, за регион, где они проживают и учатся.
Литература:
- Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIIIклассы / Г. И. Глейзер. — М., 1982. — 240 с.
- Юшкевич А. П. История математики в Средние века / А. П. Юшкевич. — М., 1961. — 448 с.
- Кубесов А. Математическое наследие Аль-Фараби / А.Кубесов. — Алма-Ата, 1974. — 247 с.
- Розенфельд Б. А. О математических работах Насреддина Туси / Б. А. Розенфельд // Историко-математические наследия. — 1951. — Вып.4. –С. 489–512.
- Науковiзаписки Вiнницького державного педагогiчного унiверситету iменi Михайла Коцюбинського. Серия: Педагогiка i психологiя: Зб. Наук. праць. — Випуск 43/ Редкол.: В. I. Шахов (голова) та iн. — Вiнниця: ТОВ “Нiлан ЛТД”, 2015. — 456 с.
- Эл агартуу № 5–6 1998. Научно-педагогический и методический ордена “Знак Почета” журнал Министерства образования, науки и культуры Кыргызской Республики.
