Модель гравитационного поля планеты в системе гравитирующих стержней | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Физика

Опубликовано в Молодой учёный №15 (119) август-1 2016 г.

Дата публикации: 31.07.2016

Статья просмотрена: 96 раз

Библиографическое описание:

Хромова И. В. Модель гравитационного поля планеты в системе гравитирующих стержней // Молодой ученый. — 2016. — №15. — С. 116-118. — URL https://moluch.ru/archive/119/32974/ (дата обращения: 22.10.2018).



Моделирование внешнего гравитационного поля Земли важно для вычисления траекторий естественных и искусственных тел. Простейшую модель центрального поля шара построил Ньютон. Учет несферичности Земли привел к использованию разложения потенциала по сферическим функциям. Значения параметров разложения приближенно определяются по наблюдениям Луны, ИСЗ и по гравиметрическим и геодезическим измерениям. Известный набор значений получил название «Стандартная Земля». Перечисленные сведения можно найти в книге Аксенова Е. П. [1]. Хорошее приближение дает модель двух неподвижных центров [1]. Обобщением является построение системы из многих материальных точек [5]. В нашей задаче используется модель из нескольких гравитирующих стержней, жестко связанных с Землей [4], а также модели, состоящие из «зубцов» и из «кочек». Введем геоцентрическую цилиндрическую систему координат R, θ, z. Ось z направим вдоль оси вращения Земли. Перейдем к безразмерным величинам. Для этого введем новую систему единиц. Пусть одна единица длины — 6371 км, единица массы — 5,9726·1024 кг, гравитационная постоянная G = 1. На этой оси поместим набор симметричных относительно начала СК однородных бесконечно тонких стержней, умещающихся на отрезке [-1,1]. Плотность каждого стержня равна . Полагаем, что концы отрезка находятся внутри Земли.

Постановка задачи

Будем строить варианты моделей с одинаковой безразмерной массой, равной единице, которые помещаются в сферу единичного радиуса. Вариант модели обозначим M (S, D, N). Параметр Sописывает структуру — дискретная модель из материальных точек, из кусочно-непрерывных стержней, из точек и стержней соответственно. При этом гладкость линейной плотности стержней может быть различной — на концах стержней может испытывать скачок сама плотность и/либо ее производная, а могут быть непрерывны и плотность и производная (случаи пенька , зубца, кочки). D = 1, 2, 3 означает размерность модели, то есть количество осей, на которых расположены точки и стержни. N — это число элементов модели. Массы, размеры элементов также могут различаться. Простейшим случаем является модель M (point, 1, 1), состоящая из одной материальной точки.

Введем декартову систему координат с началом в центре масс системы. Размазав модель равномерно по оси, получим варианты M (segment(s), 1, 1) с пеньком либо с зубцом, либо с кочкой. Далее, добавляя распределения масс вдоль осей получим варианты M (point, 2, N), M (point, 3, N), M (segment(s), 2, N), M (segment(s), 3, N). Аналогично можно поступить с вариантами M (point & segment(s), D, N), располагая вперемежку точки и стержни. Ограничимся моделями с зеркальной симметрией относительно плоскости , но при этом будем строить модели с ротационной симметрией. В этом случае можно рассматривать вращение системы.

Введем новую характеристику гравитационного поля системы — квазикруговую скорость (ККС) с помощью скалярного произведения:

В системе с ротационной симметрией относительно оси и зеркальной симметрией она совпадает с обычной круговой скоростью при:

Нужно построить для рассматриваемого потенциала изолинии ККС в трех координатных плоскостях — экваториальной двух меридиональных — и . В случае сферической модели все изолинии будут окружностями.

Типы рассматриваемых распределений масс:

  1. Разрывное кусочно-постоянное распределение
  2. Непрерывное кусочно–линейное пилообразное распределение

Построим кусочно-линейное распределение масс, график которого имеет пилообразный вид. Расположим нечетное количество зубцов n симметрично относительно начала СК на оси z. Зубцы образуют равнобедренные треугольники с основаниями 2и высотой , где k — номер зубца. Зубцу приписываем массу [4]. Считаем, что зубцы не пересекаются друг с другом, а крайние зубцы не выходят за интервал [-1,1].

  1. Гладкое кусочно-параболическое распределение

Построим гладкое кусочно-параболическое распределение, график которого имеет вид «кочек». Функция плотности одного элемента состоит из 3 частей, каждая из которых является частью параболы. Масса «кочки» равна , основание 2, середину основания обозначим .

При получаем дельта-функцию, которая отображает точечную массу величиной . Положение материальной точки совпадает с координатой .

Гравитационное поле

Введем новую характеристику гравитационного поля системы — квазикруговую скорость (ККС). Рассмотрим изолинии ККС для каждого вида потенциала. ККСвводим с помощью скалярного произведения:

(1)

Это выражение является вириалом. Вириал для системы точек массами имеет вид [6]:

.(2)

Так как — потенциал модели, то уравнения движения будут иметь вид:

(3)

Выразив из (3) и подставив в выражение (2), получим выражение (1). Теорема вириала гласит, что усредненная по бесконечному интервалу времени кинетическая энергия механической системы равна усредненному по тому же интервалу вириалу сил. Следовательно, введенная ККС является характеристикой гравитационного поля.

Рассмотрим изолинии ККС для различных моделей. Сначала исследуем модель двух стержней постоянной плотности на оси (Рис.1).

Рис. 1. Изолинии ККС в меридиональной плоскости

Рис. 2. Изолинии ККС. Слева , справа

В экваториальной плоскости изолинии будут окружностями, так как влияние стержней одинаковое в любой момент времени, потому что располагаются они на оси . Из-за ротационной симметричности модели график изолинии в любой меридиональной плоскости будет одинаковым. Изолинии ККС вытягиваются вдоль оси , округляясь по мере отдаления от центра. При изменении типа распределения стержня на зубчатый, изолинии отдаляются от центра (Рис. 2).

Исследуем, как изменение гладкости распределения отразится на виде изолиний. На рис. 3 сравнены две модели — с зубчатым и кочкообразным распределением. Как видно из рисунка, увеличение порядка гладкости отражается незаметно, вид изолиний идентичен.

Рис. 3. Изолинии ККС Слева , справа

Заключение

Предлагаемая модель внешнего гравитационного поля Земли является довольно гибкой благодаря наличию большого числа параметров. Изменяя вид распределения можно достичь хорошего приближения к выражению внешнего потенциала Земли как суммы кеплерова потенциала и возмущающей части.

Модели такого рода можно строить и для других планет Солнечной системы. Значения параметров могут приближенно определяться по известным данным о некоторых планетах.

Литература:

  1. Аксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977. 360 с.
  2. Кутузов С. А. Математическое описание астрономических систем. Учеб. пособие.-СПб.: Изд. СПбГУ, 2004. 244 с.
  3. Антонов В. А., Никифоров И. И., Холшевников К. В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного выражения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. 208 с.
  4. Кодрик В. В., Кутузов С. А. Моделирование внешнего поля Земли с помощью гравитирующих стержней //Труды XLII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» / Под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова.-СПб, издат. дом СПбГУ, 2011. 588с. с. 145–150.
  5. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 272 с.
  6. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем, М: Физматгиз, 1958. 644 с.
Основные термины (генерируются автоматически): модель, ось, изолиния, внешнее гравитационное поле, ротационная симметрия, меридиональная плоскость, зеркальная симметрия, гравитационное поле, гладкое кусочно-параболическое распределение, скалярное произведение.


Похожие статьи

Геометрические свойства гравитационного поля

Поэтому гравитационное поле любого тела искривляет не просто пространство, а меняющееся гравитационное поле определенного интервала центральной массы.

Центральная симметрия гравитационного поля позволяет оценивать самое простое движение – динамику...

Гипотеза механизма закономерности Тициуса-Боде

В поле Солнца расположение орбит образует закономерную последовательность, в которой характеристики движения внешних

Тогда большая часть пространства гравитационного поля Солнца для каждой орбиты делится горизонтальными плоскостями на 2...

Математическое моделирование взаимодействия ионов...

С этой целью предложена математическая модель движения большого числа таких частиц во внешнем поле.

Расположим дипольные частицы в плоскости цилиндра диаметром равном , ось цилиндра параллельна оси .

О проблемах геометрического моделирования рельефа поля для...

Планировка поля для оптимального орошения требует наиболее плоской планировки. При этом микрорельеф местности не всегда идеален.

Но проблема в том, что поверхности между горизонталями принимаются за ровные плоскости или за линейные поверхности, что видно...

Создание цифровой геологической модели для уточнения...

В основе метода оценки распределения водонасыщенности по мощности нефтяного пласта лежит классическая теория равновесия между гравитационными и капиллярными силами. Так как нефтенасыщенность обратная величина водонасыщенности, то она также зависит от...

Системный подход в изучении начертательной геометрии

– способам изображения пространственных фигур на плоскости

5 Шантаренко, В. Г. Системный подход к обучению студентов математике на основе моделирования в визуальном информационном поле как способ реализации когнитивно-визуального подхода / В. Г...

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Приводятся методики разработки 3D моделей поверхностей и реальных сооружений в САПР «Компас», а также натурных моделей с помощью 3D-печати.

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3) В сечении плоскостью, ортогональной оси...

Обработка и сегментация тепловизионных изображений

Сегментацией изображения — это распределение множества пикселей изображения на объекты и области

Также контур может быть внутренний или внешний. Точки контура, в сравнении с

Далее высчитывается сумма, где слагаемыми являются произведения значений пикселей на...

Геометрические свойства гравитационного поля

Поэтому гравитационное поле любого тела искривляет не просто пространство, а меняющееся гравитационное поле определенного интервала центральной массы.

Центральная симметрия гравитационного поля позволяет оценивать самое простое движение – динамику...

Гипотеза механизма закономерности Тициуса-Боде

В поле Солнца расположение орбит образует закономерную последовательность, в которой характеристики движения внешних

Тогда большая часть пространства гравитационного поля Солнца для каждой орбиты делится горизонтальными плоскостями на 2...

Математическое моделирование взаимодействия ионов...

С этой целью предложена математическая модель движения большого числа таких частиц во внешнем поле.

Расположим дипольные частицы в плоскости цилиндра диаметром равном , ось цилиндра параллельна оси .

О проблемах геометрического моделирования рельефа поля для...

Планировка поля для оптимального орошения требует наиболее плоской планировки. При этом микрорельеф местности не всегда идеален.

Но проблема в том, что поверхности между горизонталями принимаются за ровные плоскости или за линейные поверхности, что видно...

Создание цифровой геологической модели для уточнения...

В основе метода оценки распределения водонасыщенности по мощности нефтяного пласта лежит классическая теория равновесия между гравитационными и капиллярными силами. Так как нефтенасыщенность обратная величина водонасыщенности, то она также зависит от...

Системный подход в изучении начертательной геометрии

– способам изображения пространственных фигур на плоскости

5 Шантаренко, В. Г. Системный подход к обучению студентов математике на основе моделирования в визуальном информационном поле как способ реализации когнитивно-визуального подхода / В. Г...

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Приводятся методики разработки 3D моделей поверхностей и реальных сооружений в САПР «Компас», а также натурных моделей с помощью 3D-печати.

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3) В сечении плоскостью, ортогональной оси...

Обработка и сегментация тепловизионных изображений

Сегментацией изображения — это распределение множества пикселей изображения на объекты и области

Также контур может быть внутренний или внешний. Точки контура, в сравнении с

Далее высчитывается сумма, где слагаемыми являются произведения значений пикселей на...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Геометрические свойства гравитационного поля

Поэтому гравитационное поле любого тела искривляет не просто пространство, а меняющееся гравитационное поле определенного интервала центральной массы.

Центральная симметрия гравитационного поля позволяет оценивать самое простое движение – динамику...

Гипотеза механизма закономерности Тициуса-Боде

В поле Солнца расположение орбит образует закономерную последовательность, в которой характеристики движения внешних

Тогда большая часть пространства гравитационного поля Солнца для каждой орбиты делится горизонтальными плоскостями на 2...

Математическое моделирование взаимодействия ионов...

С этой целью предложена математическая модель движения большого числа таких частиц во внешнем поле.

Расположим дипольные частицы в плоскости цилиндра диаметром равном , ось цилиндра параллельна оси .

О проблемах геометрического моделирования рельефа поля для...

Планировка поля для оптимального орошения требует наиболее плоской планировки. При этом микрорельеф местности не всегда идеален.

Но проблема в том, что поверхности между горизонталями принимаются за ровные плоскости или за линейные поверхности, что видно...

Создание цифровой геологической модели для уточнения...

В основе метода оценки распределения водонасыщенности по мощности нефтяного пласта лежит классическая теория равновесия между гравитационными и капиллярными силами. Так как нефтенасыщенность обратная величина водонасыщенности, то она также зависит от...

Системный подход в изучении начертательной геометрии

– способам изображения пространственных фигур на плоскости

5 Шантаренко, В. Г. Системный подход к обучению студентов математике на основе моделирования в визуальном информационном поле как способ реализации когнитивно-визуального подхода / В. Г...

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Приводятся методики разработки 3D моделей поверхностей и реальных сооружений в САПР «Компас», а также натурных моделей с помощью 3D-печати.

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3) В сечении плоскостью, ортогональной оси...

Обработка и сегментация тепловизионных изображений

Сегментацией изображения — это распределение множества пикселей изображения на объекты и области

Также контур может быть внутренний или внешний. Точки контура, в сравнении с

Далее высчитывается сумма, где слагаемыми являются произведения значений пикселей на...

Геометрические свойства гравитационного поля

Поэтому гравитационное поле любого тела искривляет не просто пространство, а меняющееся гравитационное поле определенного интервала центральной массы.

Центральная симметрия гравитационного поля позволяет оценивать самое простое движение – динамику...

Гипотеза механизма закономерности Тициуса-Боде

В поле Солнца расположение орбит образует закономерную последовательность, в которой характеристики движения внешних

Тогда большая часть пространства гравитационного поля Солнца для каждой орбиты делится горизонтальными плоскостями на 2...

Математическое моделирование взаимодействия ионов...

С этой целью предложена математическая модель движения большого числа таких частиц во внешнем поле.

Расположим дипольные частицы в плоскости цилиндра диаметром равном , ось цилиндра параллельна оси .

О проблемах геометрического моделирования рельефа поля для...

Планировка поля для оптимального орошения требует наиболее плоской планировки. При этом микрорельеф местности не всегда идеален.

Но проблема в том, что поверхности между горизонталями принимаются за ровные плоскости или за линейные поверхности, что видно...

Создание цифровой геологической модели для уточнения...

В основе метода оценки распределения водонасыщенности по мощности нефтяного пласта лежит классическая теория равновесия между гравитационными и капиллярными силами. Так как нефтенасыщенность обратная величина водонасыщенности, то она также зависит от...

Системный подход в изучении начертательной геометрии

– способам изображения пространственных фигур на плоскости

5 Шантаренко, В. Г. Системный подход к обучению студентов математике на основе моделирования в визуальном информационном поле как способ реализации когнитивно-визуального подхода / В. Г...

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Приводятся методики разработки 3D моделей поверхностей и реальных сооружений в САПР «Компас», а также натурных моделей с помощью 3D-печати.

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. 3) В сечении плоскостью, ортогональной оси...

Обработка и сегментация тепловизионных изображений

Сегментацией изображения — это распределение множества пикселей изображения на объекты и области

Также контур может быть внутренний или внешний. Точки контура, в сравнении с

Далее высчитывается сумма, где слагаемыми являются произведения значений пикселей на...

Задать вопрос