Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 02.07.2016

Статья просмотрена: 46 раз

Библиографическое описание:

Смирнова Т. А., Колотов М. Е. Новые обобщения определения параболы // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 52-58. — URL https://moluch.ru/archive/117/32291/ (дата обращения: 17.10.2018).



Новые обобщения определения параболы

Целью работы является обобщение определения параболы в том случае, когда фокус превращается в фокальную окружность.

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы) [1, c.85].

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

Рис. 1. Парабола

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Для параболы эксцентриситет равен .

В данной работе исследуется случай, при котором вместо фокуса-точки рассматривается фокальная окружность радиуса , центр которой находится в начале системы координат.

Рис. 2. Фокальная окружность

Найдем , если точка расположена вне круга:

тогда уравнение геометрического места точек:

(1)

Если же точка расположена внутри круга, то:

(2)

Для описания данного геометрического места точек необходимо отдельно рассмотреть следующие случаи:

  1. Точка находится вне окружности (и на ее границе):
    1. — Рассматривается участок слева от директрисы.
    2. — Рассматривается участок справа от директрисы.
    3. .
  2. Точка находится внутри окружности:
    1. — Рассматривается участок слева от директрисы.
    2. — Рассматривается участок справа от директрисы.
    3. .

Рассмотрим все случаи для уравнения (1). Перенесем в правую часть и избавимся от радикала, возведя обе части в квадрат:

раскроем модуль для случая 1.a:

Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители, получим следующее уравнение:

которое можно привести к виду

Однако для построения графиков удобнее будет воспользоваться следующим видом:

Очевидно, что обязательно подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Рассмотрим данное неравенство подробнее.

Таким образом, необходимо учитывать ряд ограничений на область определения:

Рис. 3. ГМТ 1.а при

Рассматривая аналогичным образом случаи 1.b и 1.c, получим:

Для 1.b:

Рис. 4. ГМТ 1.b при

Для 1.c:

Перейдем теперь к рассмотрению случая 2. Так как расстояние от любой точки внутри окружности до ее границы не может превосходить радиус этой окружности то логично потребовать этого же и от расстояния до прямой: . Что, в свою очередь, даст условие . В (2) подставим условия случая 2.а:

перенесем в правую часть и избавимся от радикала, возведя обе части в квадрат:

возведя обе части равенства в квадрат, получим:

Также на область определения накладывается условие расположения внутри окружности: , где определяется соответствующим рассматриваемому случаю уравнением ГМТ. Для случая 2.а:

Старший коэффициент параболы больше нуля, следовательно, допустимая область находится между корнями уравнения. Решим данное квадратное уравнение:

Таким образом, в случае 2.а:

Рис. 5. ГМТ 2.а при

Перейдем к случаю 2.b. Аналогично с 2.а, получим ГМТ:

Рис. 6. ГМТ 2.b при

В целом, случай 2.с аналогичен случаю 1.с:

Можно сделать вывод, что при , будет наблюдаться следующая картина:

Рис. 7. Авторская парабола при

Иначе, при :

Рис. 8. Авторская парабола при

В результате исследования найдены возможные обобщения параболы в случае, когда фокус превращается в фокальную окружность. Эти обобщения представлены на рисунках 6–8.

Литература:

  1. Д. В. Клетеник «Аналитическая геометрия»
Основные термины (генерируются автоматически): геометрическое место, фокальная окружность, авторская парабола, коническое сечение, правая часть, директриса, окружность, парабола.


Похожие статьи

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

уравнение окружности, ABC, кривой, уравнение параболы, окружность, уравнение системы, задача, парабола, уравнение, центр.

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

Ключевые слова: прикладная геометрия, инженерная графика, графические дисциплины, кривые 2-го порядка, эллипс, гипербола, парабола, окружность, параметры, положения, формы, параметрическая мощность, центр.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями

При y=0 в сечении получается парабола с вершиной в начале координат и осью OZ.

О методах и подходах геометрического моделирования плоских...

Окружность.

Следовательно, прямая и кривая параболы родственные линии в различных аппаратах геометрического моделирования (сравните: F1M–F2M=0 и bM–FM=0).

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Скачать Часть 2 (pdf).

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих конические сечения заданных параметров, нередко может возникнуть необходимость

Проведем диаметр O131 окружности, перпендикулярный к O1211.

Понятия о геометрических образах и методах их проецирования...

Бируни перечисляет пять конических сечений: треугольник, круг, эллипс, гиперболу, параболу.

В этом случае меридиан, ограниченный полусферой изображается окружностью, перпендикулярный ей меридиан и экватор — горизонтальным и вертикальным диаметрами...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Скачать Часть 9 (pdf). Библиографическое описание

В результате изучения данного модуля студенты должны овладеть следующими умениями: изображать геометрические фигуры и тела, указанные в условиях задач, и выделять

Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

О целесообразности ограничения некоторых прав потерпевшего...

Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Доклад состоит из двух частей: в первой части студент рассказывает о жизни математика и о его открытиях, во второй части студент говорит непосредственно о том, что...

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

уравнение окружности, ABC, кривой, уравнение параболы, окружность, уравнение системы, задача, парабола, уравнение, центр.

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

Ключевые слова: прикладная геометрия, инженерная графика, графические дисциплины, кривые 2-го порядка, эллипс, гипербола, парабола, окружность, параметры, положения, формы, параметрическая мощность, центр.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями

При y=0 в сечении получается парабола с вершиной в начале координат и осью OZ.

О методах и подходах геометрического моделирования плоских...

Окружность.

Следовательно, прямая и кривая параболы родственные линии в различных аппаратах геометрического моделирования (сравните: F1M–F2M=0 и bM–FM=0).

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Скачать Часть 2 (pdf).

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих конические сечения заданных параметров, нередко может возникнуть необходимость

Проведем диаметр O131 окружности, перпендикулярный к O1211.

Понятия о геометрических образах и методах их проецирования...

Бируни перечисляет пять конических сечений: треугольник, круг, эллипс, гиперболу, параболу.

В этом случае меридиан, ограниченный полусферой изображается окружностью, перпендикулярный ей меридиан и экватор — горизонтальным и вертикальным диаметрами...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Скачать Часть 9 (pdf). Библиографическое описание

В результате изучения данного модуля студенты должны овладеть следующими умениями: изображать геометрические фигуры и тела, указанные в условиях задач, и выделять

Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

О целесообразности ограничения некоторых прав потерпевшего...

Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Доклад состоит из двух частей: в первой части студент рассказывает о жизни математика и о его открытиях, во второй части студент говорит непосредственно о том, что...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

уравнение окружности, ABC, кривой, уравнение параболы, окружность, уравнение системы, задача, парабола, уравнение, центр.

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

Ключевые слова: прикладная геометрия, инженерная графика, графические дисциплины, кривые 2-го порядка, эллипс, гипербола, парабола, окружность, параметры, положения, формы, параметрическая мощность, центр.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями

При y=0 в сечении получается парабола с вершиной в начале координат и осью OZ.

О методах и подходах геометрического моделирования плоских...

Окружность.

Следовательно, прямая и кривая параболы родственные линии в различных аппаратах геометрического моделирования (сравните: F1M–F2M=0 и bM–FM=0).

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Скачать Часть 2 (pdf).

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих конические сечения заданных параметров, нередко может возникнуть необходимость

Проведем диаметр O131 окружности, перпендикулярный к O1211.

Понятия о геометрических образах и методах их проецирования...

Бируни перечисляет пять конических сечений: треугольник, круг, эллипс, гиперболу, параболу.

В этом случае меридиан, ограниченный полусферой изображается окружностью, перпендикулярный ей меридиан и экватор — горизонтальным и вертикальным диаметрами...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Скачать Часть 9 (pdf). Библиографическое описание

В результате изучения данного модуля студенты должны овладеть следующими умениями: изображать геометрические фигуры и тела, указанные в условиях задач, и выделять

Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

О целесообразности ограничения некоторых прав потерпевшего...

Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Доклад состоит из двух частей: в первой части студент рассказывает о жизни математика и о его открытиях, во второй части студент говорит непосредственно о том, что...

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

уравнение окружности, ABC, кривой, уравнение параболы, окружность, уравнение системы, задача, парабола, уравнение, центр.

Определение параметров формы и положения кривых 2-го порядка

Ключевые слова: прикладная геометрия, инженерная графика, графические дисциплины, кривые 2-го порядка, эллипс, гипербола, парабола, окружность, параметры, положения, формы, параметрическая мощность, центр.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями

При y=0 в сечении получается парабола с вершиной в начале координат и осью OZ.

О методах и подходах геометрического моделирования плоских...

Окружность.

Следовательно, прямая и кривая параболы родственные линии в различных аппаратах геометрического моделирования (сравните: F1M–F2M=0 и bM–FM=0).

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Скачать Часть 2 (pdf).

В инженерной практике наряду с задачей нахождения положения секущих плоскостей, содержащих конические сечения заданных параметров, нередко может возникнуть необходимость

Проведем диаметр O131 окружности, перпендикулярный к O1211.

Понятия о геометрических образах и методах их проецирования...

Бируни перечисляет пять конических сечений: треугольник, круг, эллипс, гиперболу, параболу.

В этом случае меридиан, ограниченный полусферой изображается окружностью, перпендикулярный ей меридиан и экватор — горизонтальным и вертикальным диаметрами...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Скачать Часть 9 (pdf). Библиографическое описание

В результате изучения данного модуля студенты должны овладеть следующими умениями: изображать геометрические фигуры и тела, указанные в условиях задач, и выделять

Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

О целесообразности ограничения некоторых прав потерпевшего...

Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Доклад состоит из двух частей: в первой части студент рассказывает о жизни математика и о его открытиях, во второй части студент говорит непосредственно о том, что...

Задать вопрос