Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 30.06.2016

Статья просмотрена: 28 раз

Библиографическое описание:

Кадырбеков Т. К., Хидоятова М. А. Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 26-29. — URL https://moluch.ru/archive/117/32121/ (дата обращения: 25.06.2018).



Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.

(1)

где малый параметр некоторая непрырывная функция своих аргументов. ядро

Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]

(2)

где (3)

Постоянные определяем из условия ограниченности решений

Поставляя значения и определяемые равенствами (3) в правую часть разложения (2) находим

(4)

(5)

Далее разлогая функцию в ряд по степеням имеем

(6)

Поставляя соотношения (2), (5), и (6) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты пари одинаковых степеней фф получаем

(7)

(8)

(9)

Вводя медленно меняющиеся амплитуду и фазу из уравнения (7) находим

(10)

Поставляя выражение 10 в правую часть уравнения (8) имеем

(11)

Чтобы исключить появление пекулярных (вековых) членов разложения, необходимо положить [3]

(12)

где .

Так как те переходя в уравнении (II) к переменной, получаем

(13)

Определим функции и посредством соотношений.

(15)

Тогда из уравнения (13) методом вариации параметров, находим

(17)

где — медленно меняющиеся функции, определяемые из условия отсутствуют вековых членов в выражениях для .

Подставляя равенства (10) и (17) в правую часть уравнения (9) и используя условия отсутствие сингулярных членов в разложений, находим для определения и уравнения в виде [3, 4]

(18)

,

,

,

Из системы уравнений (18) следует, что если , то необходимо положить так как в противном случае разложение имело бы сингулярные члены. Предположив, что ,из системы (18) найдем медленно меняющиеся функции и .

Таким образом, определяются остальные последующие члены разложение (2) Следовательно, при вычислении члена нужно учитывать вид решения а также равномерную пригодность и на достаточно большом промежутке времени. Итак используя соотношения (2), (4) формуле (10) и выражение (17) имеем

Литература:

  1. Самойленко А. М. «К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных систем»// Дифференциальные уравнения.1987.№ 23 стр. 276–278
  2. Бигун Я. Н., Форчук В. И. «применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотного систем с запаздыванием» // Укр. Мат. Журнал 1980 № 2 стр. 149–164.
  3. Филатов А. Н. «Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Ташкент Фан, АН УзССР, 1974 г.
  4. Кадырбеков Т. К. «Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Механика полимеров». Рига.1973г.
Основные термины (генерируются автоматически): малый параметр, правая часть уравнения, уравнение, функция.


Похожие статьи

Построение периодических решений для квазилинейных...

Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Построение формальных решений системы нелинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема

Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам

Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .

В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

. Решением этого уравнения при является функция.

. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...

Построение периодических решений для квазилинейных...

Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Построение формальных решений системы нелинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема

Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам

Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .

В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

. Решением этого уравнения при является функция.

. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Построение периодических решений для квазилинейных...

Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Построение формальных решений системы нелинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема

Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам

Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .

В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

. Решением этого уравнения при является функция.

. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...

Построение периодических решений для квазилинейных...

Естественной является случай, когда правой части системы (16), низший порядок членов относительно равен единице, если отбросить функцию .

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Построение формальных решений системы нелинейных...

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, неизвестная функция, система, вектор, точное решение системы, условие теоремы, Теорема

Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

причем медленное время, –фиксированное число малый параметр, функция неотрицательна и удовлетворяет условию.

Для того, чтобы уравнение (12) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения было ортогональным решением союзной...

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

и в Значит, функция в является решением эллиптического уравнения.

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области В самом деле, Пусть Поскольку оператор локально равномерно эллиптичен при где – достаточно малое число, и его...

Построение асимптотических решений системы нелинейных...

...(14), необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем векторам

Интегрируя уравнение (17), определим неизвестную функцию

Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

О моделях А. Д. Базыкина «хищник — жертва» | Статья в журнале...

Поэтому квадратичным слагаемым в разложении функции в ряд по малому параметру можно в первом приближении пренебречь и считать, что .

В первой стационарной точке собственными значениями матрицы Якоби правой части уравнений (2).

Об одной задаче определения правой части линейного...

В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к...

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

. Решением этого уравнения при является функция.

. При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса...

Задать вопрос