Авторы: Кадырбеков Турап Кадырбекович, Хидоятова Муяссар Атхамовна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 30.06.2016

Статья просмотрена: 13 раз

Библиографическое описание:

Кадырбеков Т. К., Хидоятова М. А. Метод двухмасштабного разложения решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 26-29.



Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.

(1)

где малый параметр некоторая непрырывная функция своих аргументов. ядро

Согласно методу двух масштабного разложения ишем решение уровнение (1) в виде асимптотического ряда [1,2]

(2)

где (3)

Постоянные определяем из условия ограниченности решений

Поставляя значения и определяемые равенствами (3) в правую часть разложения (2) находим

(4)

(5)

Далее разлогая функцию в ряд по степеням имеем

(6)

Поставляя соотношения (2), (5), и (6) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты пари одинаковых степеней фф получаем

(7)

(8)

(9)

Вводя медленно меняющиеся амплитуду и фазу из уравнения (7) находим

(10)

Поставляя выражение 10 в правую часть уравнения (8) имеем

(11)

Чтобы исключить появление пекулярных (вековых) членов разложения, необходимо положить [3]

(12)

где .

Так как те переходя в уравнении (II) к переменной, получаем

(13)

Определим функции и посредством соотношений.

(15)

Тогда из уравнения (13) методом вариации параметров, находим

(17)

где — медленно меняющиеся функции, определяемые из условия отсутствуют вековых членов в выражениях для .

Подставляя равенства (10) и (17) в правую часть уравнения (9) и используя условия отсутствие сингулярных членов в разложений, находим для определения и уравнения в виде [3, 4]

(18)

,

,

,

Из системы уравнений (18) следует, что если , то необходимо положить так как в противном случае разложение имело бы сингулярные члены. Предположив, что ,из системы (18) найдем медленно меняющиеся функции и .

Таким образом, определяются остальные последующие члены разложение (2) Следовательно, при вычислении члена нужно учитывать вид решения а также равномерную пригодность и на достаточно большом промежутке времени. Итак используя соотношения (2), (4) формуле (10) и выражение (17) имеем

Литература:

  1. Самойленко А. М. «К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных систем»// Дифференциальные уравнения.1987.№ 23 стр. 276–278
  2. Бигун Я. Н., Форчук В. И. «применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотного систем с запаздыванием» // Укр. Мат. Журнал 1980 № 2 стр. 149–164.
  3. Филатов А. Н. «Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений». Ташкент Фан, АН УзССР, 1974 г.
  4. Кадырбеков Т. К. «Нелинейные колебания вязкоупругой балки. Механика полимеров». Рига.1973г.
Основные термины (генерируются автоматически): малым параметром, метода усреднения, решения интегро-дифференциального уравнения, Метод двухмасштабного разложения, обоснования метода усреднения, правую часть уравнения, противном случае разложение, последующие члены разложение, «применение метода усреднения, масштабного разложения ишем, виде асимптотического ряда, условия отсутствие сингулярных, большом промежутке времени, колебания вязкоупругой балки, класса многочастотного систем, многочастотных колебательных, сингулярные члены, малый параметр, вековых членов, интегро-дифференциальное уравнение.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос