Основные свойства квадратичного числового образа | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 28.06.2016

Статья просмотрена: 14 раз

Библиографическое описание:

Куланов И. Б. Основные свойства квадратичного числового образа // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 41-44. — URL https://moluch.ru/archive/117/32105/ (дата обращения: 14.12.2018).



Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: .

Пусть и — множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно. Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в . Если есть замкнутый оператор и всякая компонента множества содержит хотя бы одну точку резольвентного множества оператора , то имеет место включение . В силу теоремы Тёплица–Хаусдорфа [1] числовой образ является выпуклым подмножеством множества . С одной стороны, свойство выпуклости является важным свойством, однако надо отметить, что если спектр состоит из объединения двух непересекающихся множеств, то числовой образ не всегда дает достаточно хорошую структуру.

Для того, чтобы получить более точную информацию о спектре в вышеуказанных случаях, в работе [2] введено понятие квадратичного числового образа, изучению которого также посвящены работы [3–6]. Квадратичный числовой образ определен, если дано разложение и , где и гильбертово пространство, а пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(1)

с линейными ограниченными операторами , . Для неограниченного линейного оператора в , его область определения необязательно должна быть разлагаемой как прямая сумма подпространств , и следовательно, утверждение о том, что оператор имеет представление (1) является дополнительным предположением. В этом случае

.

Так как в настоящей работе рассматривается случай, когда линейный оператор является ограниченным, дальнейшие понятия приводятся для ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве .

Сначала дадим определение квадратичного числового образа оператора и некоторую информацию о нем (подробно см. работу [5]). Пусть и — скалярное произведение и норма в , , соответственно.

Множество всех собственных значений матрицы

таких, что , называется квадратичной числовой образ оператора , соответствующей представлению (1) блочно-операторной матрицы и обозначается как , т. е. .

Двум различным разложениям гильбертового пространства , могут соответствовать различные квадратичные числовые образы.

Например, квадратичными числовыми образами матрицы

,

соответствующих разложениям и являются различные множества [5]:

В некоторых случаях удобно воспользоваться эквивалентным описанием квадратичного числового образа, где используются ненулевые элементы и , необязательно имеющие нормы 1.

Для, положим

и

.

Свойство 1.Имеет место соотношение:

.

Свойство 2.Квадратичный числовой образ всегда содержится в числовом образе:

.

Свойство 3. Если операторная матрица имеет нижнюю или верхнюю треугольную форму, т. е.

или ,

то .

Аналогично числовому образу значений, квадратичный числовой образ ограниченной блочно-операторной матрицы является ограниченным подмножеством множества :

и оно замкнуто, если . В отличие от числового образа, квадратичный числовой образ, вообще говоря, невыпуклый и состоит из не более чем двух компонент. С другой стороны, квадратичный числовой образ обладает некоторыми аналогичными свойствами числового образа.

Литература:

  1. Т. Като. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  2. H. Langer, C. Tretter. Spectraldecomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
  3. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
  4. H. Langer, A. S. Markus, C. Tretter. Corners of numerical ranges. In Recent advances in operator theory Groningen, 1998), vol. 124 of Oper. Theory Adv. Appl., 385–400 (Birkhauser, Basel, 2001).
  5. C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
  6. C. Tretter. Spectral inclusion for unbounded block operator matrices. J. Func. Anal., 256 (2009), 3806–3829.
Основные термины (генерируются автоматически): квадратичный числовой образ, числовой образ, гильбертово пространство, линейный оператор, оператор, операторная матрица, свойство.


Похожие статьи

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. . называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3. Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера. (1). с линейными операторами

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Формула для числового образа одной операторной матрицы.

Основные свойства квадратичного числового образа.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. . называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3. Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера. (1). с линейными операторами

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Формула для числового образа одной операторной матрицы.

Основные свойства квадратичного числового образа.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. . называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3. Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера. (1). с линейными операторами

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Формула для числового образа одной операторной матрицы.

Основные свойства квадратичного числового образа.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы

Одним из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения является изучение его числового образа: . Пусть , и - множества всех целых, вещественных и комплексных чисел, соответственно.

Числовой образ линейных операторов: основные свойства...

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением.

Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением

Пусть комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество. . называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства...

Формула для числового образа одной операторной матрицы

Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения его числовой образ определяется

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы размера 3х3. Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели...

Один из классических методов изучения спектра линейного оператора в гильбертовом пространстве — это изучение числового образа этого

Тогда оператор всегда записывается как квадратичная блочно-операторная матрица размера. (1). с линейными операторами

Числовой образ матрицы размера 3х3 в частных случаях

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов.

Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы.

Формула для числового образа трехдиагональной матрицы...

Пусть Н гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения .

Формула для числового образа одной операторной матрицы.

Основные свойства квадратичного числового образа.

Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является

При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом

Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса.

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Блочно-операторная матрица — это матрица элементы которой являются линейными операторами в банаховым или гильбертовом пространстве [1]. Пусть и -три гильбертовы пространства и . Тогда известно, что всякий линейный ограниченный оператор...

Задать вопрос