Авторы: Колотов Михаил Евгеньевич, Смирнова Татьяна Александровна

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №13 (117) июль-1 2016 г.

Дата публикации: 23.06.2016

Статья просмотрена: 230 раз

Библиографическое описание:

Колотов М. Е., Смирнова Т. А. Синтез LQR-регуляторов для управления квадрокоптером и их сравнительный анализ на основе имитационного моделирования при помощи пакета прикладных программ MATLAB & Simulink // Молодой ученый. — 2016. — №13. — С. 172-177.



Ключевые слова: квадрокоптер, система управления, пространство состояний, LQR, асимптотические наблюдатели, регулятор

Данная статья основана на работе с математической моделью БПЛА с четырьмя несущими винтами, вращающимися в диагонально противоположных направлениях. Данная математическая модель представляет собой совокупность SISO-подсистем, полученных путем линеаризации и декомпозиции системы, выведенной в [1]. Для построения закона управления используется технология LQR-синтеза, описанная в [2]. Полученный регулятор посредством имитационного моделирования в пакете прикладных программ MATLAB & Simulink сравнивается с регулятором, синтезированным при помощи MIMO-системы до ее декомпозиции.

Основным объектом данной работы является совокупность SISO-подсистем (1), полученная из модели динамики квадрокоптера вида (2), представленной в [1], путем линеаризации в окрестности положения равновесия (3) и последующей декомпозиции, основанной на предположениях (4) о виде управляющего сигнала.

.(2)

(3)

(1)

.(4)

Здесь управляющий сигнал представляет собой квадрат угловой скорости винта -го мотора квадрокоптера, — координаты центра масс квадрокоптера в абсолютной системе координат, — углы Эйлера, представляющие собой ориентацию квадрокоптера (крен, тангаж и рысканье соответственно). Значение находится из уравнения вертикальной динамики квадрокоптера с допущением, что при данной величине управляющего сигнала БПЛА висит в воздухе неподвижно (по оси ) в горизонтальном положении:

Таким образом, значение управляющего сигнала определяется как

где — масса квадрокоптера, — сила тяжести и — коэффициент тяги моторов. Подробнее с исходной нелинейной моделью квадрокоптера (а так же с ее выводом) вы можете ознакомиться в [1]. Величины определяются следующим соотношением:

Для построения законов управления для совокупности подсистем (1) воспользуемся LQR-синтезом. Данный метод подразумевает собой модальный синтез с условием, что корни системы располагаются так, чтобы минимизировать функционал (5), отвечающий за оптимальное энергопотребление при желаемом быстродействии.

Пусть имеется SS-модель:

с линейной обратной связью .

Синтез управления заключается в решении задачи оптимизации (5) относительно SS-системы.

(5)

Матрицы задаются, обычно, таким образом, чтобы регулятор удовлетворял желаемой динамике. Чем больше значения коэффициентов относительно коэффициентов , тем интенсивнее будет управляющий сигнал.

Матрица , в таком случае, имеет вид где находится из матричного уравнения Риккати

.

Методология LQR-синтеза требует полной измеряемости вектора состояния, а SISO-система по своей сути не обеспечивает полноты набора измеряемых величин, если вектор состояния состоит более чем из одной компоненты. Для удовлетворения этого требования следует построить и объединить с регулятором асимптотический наблюдатель. Система наблюдателя

(6)

Входным сигналом является вектор измерений , вектор системы (6) является оценкой вектора состояния системы, для которой строится наблюдатель. Коэффициенты вектора выбираются таким образом, чтобы обеспечивать устойчивость системы. Закон управления, в таком случае, будет иметь вид:

(7)

Замкнув наблюдатель (6) обратной связью (7), получим систему-регулятор:

.(8)

Решим, теперь, для каждой подсистемы задачу (5) при помощи пакета прикладных программ MATLAB. За параметры БПЛА примем значения (подробнее о параметрах в [1]):

.

Матрицы и подобраны, исходя из требований к динамике регулятора и его технических возможностей, следующими:

.

Для анализа синтезированных регуляторов в среде MATLAB & Simulink была построена нелинейная модель динамики квадрокоптера, изложенная в [1]. Полученная система управления сравнивалась с другой, LQR-регулятор которой был получен, основываясь на MIMO-системе (до декомпозиции). Для реализации тестовых режимов имитационного моделирования вектора желаемого состояния системы брались следующими:

.(9)

Остальные компоненты всегда вектора считались нулевыми.

В ходе имитационного моделирования было выяснено, угол вносит существенную нелинейность в динамическую модель. Данный фактор не может быть учтен регулятором, в основе которого лежит LQR-синтез и вызывает потерю устойчивости системы, если пытаться одновременно стабилизировать компоненты и . Поэтому, для достижения (9) нужно сначала стабилизировать положение

,(10)

а уже после этого вводить в вектор (10).

Если же в качестве желаемого положения задавались значения, непрерывно изменяющиеся с течением времени, образуя траекторию:

(11)

то оба регулятора успешно справлялись с поставленной задачей, приводя, квадрокоптер на окружность и успешно по ней перемещая (рис. 1). При таком режиме движения различия между траекториями крайне незначительны и могут быть оценены следующим выражением:

C:\Users\Silberpfeil\Desktop\untitled.png

Рис. 1. Проекция траекторий моделей квадрокоптеров на плоскость

При желаемой траектории движения (11) и времени моделирования сумма имела значение 0.015.

На основании данного результата можно сделать вывод, что оба LQR-регулятора применимы к нелинейной модели квадрокоптера, при условии, что стабилизация желаемого значения угла рысканья вынесена в отдельный режим с наименьшим приоритетом. Регулятор, построенный применительно к системе (1) может быть использован как альтернатива обычному LQR-регулятору в вопросах об анализе робастности данного типа регуляторов, поскольку в данном случае предстоит работать с шестью передаточными функциями, вместо двадцати четырех.

Литература:

  1. Luukkonen T., Modelling and control of quadcopter, 2011, P.2–6.
  2. Веремей Е. И., Линейные системы с обратной связью: учебное пособие. 2013, с. 280–290,372–384.
Основные термины (генерируются автоматически): имитационного моделирования, динамики квадрокоптера, прикладных программ, помощи пакета прикладных, пакета прикладных программ, вектора состояния, имитационного моделирования вектора, совокупность siso-подсистем, управляющего сигнала, управляющий сигнал, состояния системы, регулятором асимптотический наблюдатель, основе имитационного моделирования, обратной связью, вектора состояния системы, декомпозиции системы, измеряемости вектора состояния, нелинейной моделью квадрокоптера, динамики квадрокоптера вида, желаемого состояния системы.

Ключевые слова

система управления, квадрокоптер, пространство состояний, LQR, асимптотические наблюдатели, регулятор

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос