Библиографическое описание:

Элмуродова Х. Б. Кубический числовой образ на примерах // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 70-73.



Для линейного оператора в гильбертовом пространстве с областью определения множество называется его числовым образом. Известно, что точечный спектр оператора лежит в , а его аппроксимативно точечный спектр содержится в , см. например [1].

Для того, чтобы получить более точную информацию о спектре, в работе [2] введено понятие квадратичный числовой образ, затем изучена в работе [3]. Это множество определено, если дано разложение и , где и гильбертово пространство, а пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(1)

с линейными ограниченными операторами , .

Для полноты дадим определение квадратичной численной области значений оператора . Пусть и –скалярное произведение и норма в , , соответственно. Множество всех собственных значений матрицы

таких, что , называется квадратичной числовой образ оператора , соответствующей представлению (1) блочно-операторной матрицы и обозначается как , т. е. .

Пусть теперь дано прямая сумма трех гильбертовых пространствах , и , а также оператор . Тогда оператор всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы

(2)

с линейными ограниченными операторами , .

Множество всех собственных значений матрицы

таких, что , называется кубической числовой образ оператора , соответствующей представлению (2) блочно-операторной матрицы и обозначается как , т. е. .

Для двум различным разложениям гильбертово пространства , могут соответствовать различные кубические числовые образы. Приведем некоторые факты и примеры. Заметим, что кубическая числовая образ всегда содержится в числовом образе: . При этом если операторная матрица имеет нижнюю или верхнюю треугольную форму, т. е.

или ,

то .

Аналогично числового образа значений, кубическый числовой образ ограниченной блочно-операторной матрицы является ограниченным подмножеством множество : и оно замкнуто если .

Пример 1. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 2. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 3. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Пример 4. Кубический числовой образ матрицы

соответствующий разложений имеет вид:

Литература:

  1. Т. Като. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  2. H. Langer, C. Tretter. Spectraldecomposition of some nonselfadjoint block operator matrices. J. Operator Theory, 39:2 (1998), 339–359.
  3. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
Основные термины (генерируются автоматически): числовой образ, числовой образ оператора, собственных значений матрицы, блочно-операторной матрицы, виде блочно–операторной матрицы, линейными ограниченными операторами, числовой образ матрицы, квадратичной числовой образ, квадратичный числовой образ, числовой образ ограниченной, кубической числовой образ, гильбертовом пространстве, точечный спектр оператора, соответствующей представлению, области значений оператора, числового образа значений, кубическая числовая образ, линейного оператора, областью определения множество, разложениям гильбертово пространства.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос