Слабо сепарабельные пространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №12 (116) июнь-2 2016 г.

Дата публикации: 06.06.2016

Статья просмотрена: 36 раз

Библиографическое описание:

Бешимова Д. Р. Слабо сепарабельные пространства // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 7-8. — URL https://moluch.ru/archive/116/30433/ (дата обращения: 14.08.2018).



Напомним, что семейство открытых подмножеств топологического пространства X называется базой этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество V, принадлежащее семейству .

Семейство подмножеств топологического пространства X называется сетью этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество множества .

Определение 1 [В. И. Пономарев]. Топологическое пространство X называется слабо сепарабельным, если существует база G, распадающаяся на счетное число центрированных систем открытых множеств, т. е. , где центрированная система открытых множеств любого .

Утверждение 1. Топологическое пространство X слабо сепарабельно тогда и только тогда, когда в Xсуществует сеть, являющаяся объединением счетного числа центрированных семейств множеств.

Доказательство. Необходимость вытекает из того, что всякая

база является сетью пространства X.

Достаточность. Пусть .сеть и каждое семейство центрировано. Положим открыто в и содержит некоторое Тогда очевидно, что семейство центрировано. Покажем, чтоесть база в X. Пусть непустое открытое множество в X. Тогда существует такое , что . Следовательно, по нашему определению . Таким образом, мы показали, что состоит из всех непустых открытых множеств в X. Утверждение 7.1 доказано.

Поскольку, одноточечные множества всюду плотного подмножества топологического пространства является его сетью, из утверждения 7.1 вытекает

Утверждение 2. Всякое сепарабельное пространство слабо сепарабельно.

Напомним, что пространство X удовлетворяет условию Суслина, если семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства X счетно.

Утверждение 3. Всякое слабо сепарабельное пространство удовлетворят условию Суслина.

Доказательство. Пусть X — слабо сепарабельное пространство иего база, распадающаяся в сумму счетного числа центрированных систем . Возьмем произвольную дизъюнктную систему непустых открытых подмножеств пространства X. Определим отображениеφ:B следующим образом. Поскольку G- есть база пространства X для данного существует такое множество

A, что .Положим где (если существует несколько , для некоторых,то выберем одно из них). Таким образом, отображение определено. Оно является вложением. В самом деле, пусть , , . Тогда, в силу дизъюнктности системы имеем . Значит, в силу центрированности семейств , имеем , откуда . Итак, вкладывает множество В в счетное множество. Следовательно, всякая дизъюнктная система непустых открытых подмножеств пространства X счетна. Утверждение 7.3 доказано.

Утверждение 4. Для метрических пространств X следующие условия эквивалентны:

а) X — слабо сепарабельное пространство;

б) X — сепарабельное пространство.

Доказательство. Пусть метрическое пространство X слабо сепарабельно. В этом случае в силу утверждения 7.3 пространство X удовлетворяет условию Суслина. Тогда в силу следующей задачи N: 214 гл.11 работы [2]:

Метрическое пространство X сепарабельно в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет условию Суслина. Получаем, что пространство X сепарабельно. Импликация вытекает из утверждения 2. Утверждение 4 доказано.

Утверждение 5. Пусть всюду плотное подмножество в топологическом -пространстве , тогда .

Литература:

  1. Radul T. N. On the funtor of order-preserving functionals.//Comment.Math.Unif.Carol. 1998.V,39.No.3.P.609–615.
  2. Жиемуратов Р. Е. Топологические и категорные свойства пространства нелинейных -гладких функционалов. Канд. Дисс. Ташкент, ИМИТ, 2010, стр.69.
  3. Бешимов Р. Б. О слабой плотности топологических пространств // ДАН РУз. — 2000.–№ 11. — С. 10–13.
Основные термины (генерируются автоматически): сепарабельное пространство, топологическое пространство, утверждение, пространство, открытое подмножество пространства, счетное число, непустое открытое множество, метрическое пространство, плотное подмножество, база.


Похожие статьи

Компактные пространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

бесконечное подмножество, полное накопление, топологическое пространство, множество, компактное пространство, пространство, покрытие пространства, счетное открытое покрытие, окрестность, открытое...

Слабая плотность пространства слабо аддитивных функционалов

Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т. д..

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

...их разделяет сепарабельное пространство [3], представляющее собой топологическое пространство, которое вмещает в себя счётное плотное множество (Рис. 2).

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ - вероятностная мера, т.е. Функция множества ρ: φ→[0,1], удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

С другой стороны, только подмножество испытаний, кардинальное число которого больше, чем конечное, множества событий, кардинальное число

Так как любое значение вероятности можно рассматривать, как непустое счетное множество, то в случае недостаточности в нем...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Пусть — множество всех простых чисел; — класс всех конечных p-групп, где ; ω — непустое подмножество множества .

Приведем формулировки утверждений, используемых при доказательстве основных результатов статьи.

Проектирование функционального слоя электронного...

Проектирование функционального слоя электронного образовательного пространства школы. Автор: Звягин Максим Георгиевич.

Это могут быть задачи управления деятельностью образовательной организации, создания ресурсной базы, реализация дистанционного обучения.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

После завершения строительства открытого пространства для переменных и выходить с экрана Функция Членство редактор для редактирования редактора правил выбора экрана вы видите Редактор Правил появляется.

Компактные пространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

бесконечное подмножество, полное накопление, топологическое пространство, множество, компактное пространство, пространство, покрытие пространства, счетное открытое покрытие, окрестность, открытое...

Слабая плотность пространства слабо аддитивных функционалов

Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т. д..

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

...их разделяет сепарабельное пространство [3], представляющее собой топологическое пространство, которое вмещает в себя счётное плотное множество (Рис. 2).

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ - вероятностная мера, т.е. Функция множества ρ: φ→[0,1], удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

С другой стороны, только подмножество испытаний, кардинальное число которого больше, чем конечное, множества событий, кардинальное число

Так как любое значение вероятности можно рассматривать, как непустое счетное множество, то в случае недостаточности в нем...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Пусть — множество всех простых чисел; — класс всех конечных p-групп, где ; ω — непустое подмножество множества .

Приведем формулировки утверждений, используемых при доказательстве основных результатов статьи.

Проектирование функционального слоя электронного...

Проектирование функционального слоя электронного образовательного пространства школы. Автор: Звягин Максим Георгиевич.

Это могут быть задачи управления деятельностью образовательной организации, создания ресурсной базы, реализация дистанционного обучения.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

После завершения строительства открытого пространства для переменных и выходить с экрана Функция Членство редактор для редактирования редактора правил выбора экрана вы видите Редактор Правил появляется.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Компактные пространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

бесконечное подмножество, полное накопление, топологическое пространство, множество, компактное пространство, пространство, покрытие пространства, счетное открытое покрытие, окрестность, открытое...

Слабая плотность пространства слабо аддитивных функционалов

Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т. д..

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

...их разделяет сепарабельное пространство [3], представляющее собой топологическое пространство, которое вмещает в себя счётное плотное множество (Рис. 2).

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ - вероятностная мера, т.е. Функция множества ρ: φ→[0,1], удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

С другой стороны, только подмножество испытаний, кардинальное число которого больше, чем конечное, множества событий, кардинальное число

Так как любое значение вероятности можно рассматривать, как непустое счетное множество, то в случае недостаточности в нем...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Пусть — множество всех простых чисел; — класс всех конечных p-групп, где ; ω — непустое подмножество множества .

Приведем формулировки утверждений, используемых при доказательстве основных результатов статьи.

Проектирование функционального слоя электронного...

Проектирование функционального слоя электронного образовательного пространства школы. Автор: Звягин Максим Георгиевич.

Это могут быть задачи управления деятельностью образовательной организации, создания ресурсной базы, реализация дистанционного обучения.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

После завершения строительства открытого пространства для переменных и выходить с экрана Функция Членство редактор для редактирования редактора правил выбора экрана вы видите Редактор Правил появляется.

Компактные пространства | Статья в журнале «Молодой ученый»

бесконечное подмножество, полное накопление, топологическое пространство, множество, компактное пространство, пространство, покрытие пространства, счетное открытое покрытие, окрестность, открытое...

Слабая плотность пространства слабо аддитивных функционалов

Так сепарабельное метризуемое пространство имеет счетную базу, сепарабельный упорядоченный континуум метризуем, сепарабельное регулярное пространство имеет не более чем континуальный вес и т. д..

Общая теория уязвимостей компьютерных систем

...их разделяет сепарабельное пространство [3], представляющее собой топологическое пространство, которое вмещает в себя счётное плотное множество (Рис. 2).

К вопросу о классификации пространств с нечеткими мерами

Пусть (X, φ, ρ) - вероятностное пространство. Здесь φ - минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X, а ρ - вероятностная мера, т.е. Функция множества ρ: φ→[0,1], удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны...

О некоторых свойствах вероятностных характеристик

С другой стороны, только подмножество испытаний, кардинальное число которого больше, чем конечное, множества событий, кардинальное число

Так как любое значение вероятности можно рассматривать, как непустое счетное множество, то в случае недостаточности в нем...

О τ-замкнутых Ω-композиционных и ω-центральных формациях...

Пусть — множество всех простых чисел; — класс всех конечных p-групп, где ; ω — непустое подмножество множества .

Приведем формулировки утверждений, используемых при доказательстве основных результатов статьи.

Проектирование функционального слоя электронного...

Проектирование функционального слоя электронного образовательного пространства школы. Автор: Звягин Максим Георгиевич.

Это могут быть задачи управления деятельностью образовательной организации, создания ресурсной базы, реализация дистанционного обучения.

О числе собственных значений одной операторной матрицы...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — одномерное комплексное пространство.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

После завершения строительства открытого пространства для переменных и выходить с экрана Функция Членство редактор для редактирования редактора правил выбора экрана вы видите Редактор Правил появляется.

Задать вопрос