Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (115) июнь-1 2016 г.

Дата публикации: 25.05.2016

Статья просмотрена: 26 раз

Библиографическое описание:

Мамытов А. О. Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка // Молодой ученый. — 2016. — №11. — С. 49-53. — URL https://moluch.ru/archive/115/30705/ (дата обращения: 20.07.2018).



В работе исследована обратная задача определения правой части для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с переопределениям во внутренних точках. Сначала с помощью функции Грина исходная прямая задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь методами обратных теории задач, доказывается существование и единственность решения рассматриваемой обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача, дифференциального уравнения с частными производными, функция Грина.

К настоящему времени обратные задачи превратились в бурно развивающуюся область знаний, проникающую почти во все сферы математики, включая алгебру, анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и др. С другой стороны, теория обратных задач широко применяется для решения практических задач почти во всех областях науки, в частности, в физике, медицине, экологии, экономике.

На данный момент в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике и ряда других проблем значительно возрос интерес к изучению динамики неоднородных, и в частности, стратифицированных жидкостей, которые приводят к начально-краевым задачам для уравнений с частными производными четвертого порядка.

В работе рассматривается обратная задача для дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка.

Постановка задачи. Требуется найти функции f(t) иu(t,x) в области

T={(x, t)|0<x<1,},удовлетворяющие уравнению

,(1)

заданным начальным и краевым условиям,

,,,(2)

(3)

и известно решениеu(t,x) в точке

,(4)

где 0<T — заданная постоянная,αиβ- известные постоянные.

Предположим выполнение следующих условий:

(5)

Лемма 1. Еслито резольвентаR(t,s)ядра, представима в виде

.(6)

Доказательство.Для докакзательства покажем, что

.

В самом деле,

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если α>0, то функция Грина краевой задачи

записывается в виде

(7)

Доказательство.Функцию Грина G(x,) будем искать в виде

(8)

где a1,a2,b1,b2 — пока неизвестные функции.Из определения функции Грина G(x,) имеем:

,

,

,

.

Продифференцируем (8) по х:

Тогда

Отсюда находим

(9)

(10)

Подставляя (9) и (10) в (8), получим (7). Лемма 2 доказана.

Для решения обратной задачи (1)-(4) введем обозначение

(11)

Тогда имеют место равенства

(12)

Учитывая (11) и (12), из (1) имеем

. (13)

Применяя резольвенту (5) ядра , из (12) получим

(14)

Учитывая (3), из (11) имеем

(15)

Используя функцию ГринаG(x,) определенную по формуле (7)к краевой задаче (14)-(15), получим

(16)

Введя обозначение для известных функций

(17)

уравнение (16) перепишем в виде

(18)

Полагая иучитывая (4), (11), из (18) имеем

(19)

Пусть

где(20)

Таким образом, для определенияи v(t,x),,мыполучили систему линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода (18) и (19).Тем самым доказана следующая

Теорема. Пусть выполняются условия (5) и (20). Тогда обратная задача (1)-(4) имеет единственное решение {v(t,x),f(t),}из пространствагде пространство n- мерных вектор- функций с элементами из

Литература:

  1. Asanov A., Atamanov E. R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. — Netherlands: VSP, Utrecht, 1997. — 152 p.
  2. Асанов А., Атаманов Э. Р. Обратная задача для операторного интегро-дифференциального псевдопараболического уравнения.- Сиб. матем. журнал.- 1995. Т.36. № 4.- С.752–762.
  3. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983. — 207 с.
  4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. — 457 с.
  5. Лаврентьев М. М. О некорректных задачах математической физики.- Новосибирск: СО АН СССР, 1962.
  6. Матанова К. Б. Обратная задача для дифференциальных уравнений с частными производными четвертого порядка // Вестник ОшГУ. Труды международной научно-теоретической конференции “Проблемы образования, науки и культуры в начале 21 века”. 2001. Вып. 4. — С. 94–100.
Основные термины (генерируются автоматически): обратная задача, дифференциальное уравнение, единственность решения.


Ключевые слова

функция Грина, обратная задача, дифференциального уравнения с частными производными

Похожие статьи

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется

- единственность данного решения

Решение дифференциальных уравнений методом...

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи иалгоритм метода вариационных итераций. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной...

Интегрируя дифференциальное уравнение (12) с начальным условием, получаем единственное решение задачи (12)

Из теоремы 1 следует существование и единственность решений задач (8)-(11).

Возможные методы решения математических задач...

...единственности и регулярности решений уравнений математической физики играют

Следуя [15], классическим решением задачи Дирихле для уравнения Россби будем

10. Левицкий Б. Е., Бирюк А. Э. Cравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений...

Решение методом продолжения задач математической физики...

С точки зрения математики это связано с неединственностью решения дифференциального уравнения. Для нахождения решения задачи, определяющего физический процесс, нам приходиться задать дополнительные условия.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

5. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /

Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется

- единственность данного решения

Решение дифференциальных уравнений методом...

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи иалгоритм метода вариационных итераций. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной...

Интегрируя дифференциальное уравнение (12) с начальным условием, получаем единственное решение задачи (12)

Из теоремы 1 следует существование и единственность решений задач (8)-(11).

Возможные методы решения математических задач...

...единственности и регулярности решений уравнений математической физики играют

Следуя [15], классическим решением задачи Дирихле для уравнения Россби будем

10. Левицкий Б. Е., Бирюк А. Э. Cравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений...

Решение методом продолжения задач математической физики...

С точки зрения математики это связано с неединственностью решения дифференциального уравнения. Для нахождения решения задачи, определяющего физический процесс, нам приходиться задать дополнительные условия.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

5. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /

Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется

- единственность данного решения

Решение дифференциальных уравнений методом...

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи иалгоритм метода вариационных итераций. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной...

Интегрируя дифференциальное уравнение (12) с начальным условием, получаем единственное решение задачи (12)

Из теоремы 1 следует существование и единственность решений задач (8)-(11).

Возможные методы решения математических задач...

...единственности и регулярности решений уравнений математической физики играют

Следуя [15], классическим решением задачи Дирихле для уравнения Россби будем

10. Левицкий Б. Е., Бирюк А. Э. Cравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений...

Решение методом продолжения задач математической физики...

С точки зрения математики это связано с неединственностью решения дифференциального уравнения. Для нахождения решения задачи, определяющего физический процесс, нам приходиться задать дополнительные условия.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

5. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /

Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Некоторые общие положения методики составления и решения...

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется

- единственность данного решения

Решение дифференциальных уравнений методом...

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы

Разрешимость одной краевой задачи для...

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке.

Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка.

Применение метода вариационных итераций к приближенному...

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи иалгоритм метода вариационных итераций. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной...

Интегрируя дифференциальное уравнение (12) с начальным условием, получаем единственное решение задачи (12)

Из теоремы 1 следует существование и единственность решений задач (8)-(11).

Возможные методы решения математических задач...

...единственности и регулярности решений уравнений математической физики играют

Следуя [15], классическим решением задачи Дирихле для уравнения Россби будем

10. Левицкий Б. Е., Бирюк А. Э. Cравнение решений нелинейных дифференциальных уравнений...

Решение методом продолжения задач математической физики...

С точки зрения математики это связано с неединственностью решения дифференциального уравнения. Для нахождения решения задачи, определяющего физический процесс, нам приходиться задать дополнительные условия.

Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для...

5. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /

Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Задать вопрос