Метод сквозного счета для численного моделирования деформации пористых металлов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (115) июнь-1 2016 г.

Дата публикации: 25.05.2016

Статья просмотрена: 109 раз

Библиографическое описание:

Краснов А. А. Метод сквозного счета для численного моделирования деформации пористых металлов // Молодой ученый. — 2016. — №11. — С. 35-40. — URL https://moluch.ru/archive/115/29857/ (дата обращения: 20.10.2018).



Введение

В связи с возросшим интересом к новым материалам с перспективными свойствами, как с экономической, так и с механической точек зрения, большое значение имеет моделирование поведения различных сред под воздействием внешних сил. Металлические пены – представители целого семейства пористых материалов. Их отличительными свойствами являются низкая плотность и высокие прочностные характеристики [1, 2]. Причины, по которым пористые металлы еще не стали очень популярны, заключаются в несовершенстве технологии их производства (сложно получить однородное распределение пор) и высокой стоимостью этой технологии. В результате исследований последних лет наметились значительные изменения, как в совершенствовании методов получения металлических пен, так и в снижении стоимости их производства.

Технология

Получить пористые металлы можно несколькими способами [3]:

 введением газа в жидкий сплав с образованием пузырьков нужного размера и их дальнейшей стабилизацией охлаждением;

 формированием смеси из порошков металла и вспенивающего материала (например, ) последующим нагреванием смеси с высвобождением газа и образованием пузырьков;

 спеканием полых металлических сфер;

 растворением газа в жидком металле под давлением, с контролируемым высвобождением в процессе затвердевания;

 заполнением песком полимерного пористого материала с открытыми ячейками с дальнейшим выжиганием полимера и заполнением получившейся формы металлическим сплавом;

 покрытием полимерного пористого материала с открытыми ячейками частицами металлического сплава методом электрического осаждения с последующим выжиганием полимера;

 задержкой инертного газа в металлическом порошке под высоким давлением и дальнейшим нагреванием с расширением газа;

 созданием смеси металла и растворяемого материала, с последующим выщелачиванием.

Все методы производства пористых металлов связаны с высокими температурами и необходимостью точно контролировать изменения температуры и давления на различных стадиях технологических процессов.

Модель

Для описания модели используется реологический метод. На рис. 1 приведена реологическая схема пористой среды [4]. Согласно этой схеме поведение пористого металла до момента схлопывания пор соответствует пружине с модулем упругой податливости а повышение жесткости после схлопывания пор соответствует второй пружине с модулем Жесткий контакт соответствует пористости материала и имитирует уплотнение среды. Также эта схема учитывает пластические свойства пористого металла.

Рис. 1. Реологическая схема

Диаграмма связи между напряжением и деформацией пористой среды при одноосном сжатии изображена на рис. 2.

Процесс упругой деформации материала описывается уравнением а упругопластической (после схлопывания пор) – Точка соответствует моменту схлопывания пор. Приведенная диаграмма не противоречит результатам практических экспериментов по сжатию пористых металлов [1, 3, 5].

Используя приведенную выше реологическую схему можно составить следующие определяющие соотношения:

(1)

Здесь – плотность пористого материала; – пористость; – вектор скорости; – вектор объемных сил; – оператор Гамильтона; – сопряженный тензор. Используются механические характеристики пористого материала: модули упругой податливости и определяющие их модули сдвига ; модули объемного сжатия ; предел текучести среды ; начальная пористость , вычисленные для материала с малой пористостью в работе [6]. Искомыми функциями являются вектор скорости и тензоры и

Рис. 2. Диаграмма связи между напряжением и деформацией

Полагая после скалярного умножения обеих частей уравнения движения на вектор скорости двойной свертки дифференциального уравнения для с тензором и суммирования результатов, получим неравенство внутренней диссипации энергии:

Левая часть неравенства представляет собой скорость изменения кинетической и потенциальной энергий, а правая – мощность внутренних поверхностных и активных объемных сил. Разность между правой и левой частями равна скорости пластической диссипации энергии, которая в соответствии с принципами необратимой термодинамики не может быть отрицательной величиной. При выводе данного неравенства существенно использовалось тождество [4]:

которое справедливо для проекции на произвольный выпуклый конус.

Вычислительный алгоритм

Чтобы построить алгоритм численной реализации описанной модели, представим соотношения (1) в виде вариационного неравенства в матричной форме:

(2)

Здесь – символ транспонирования; – размерность модели; – вектор массовых сил; и – вектор-функции, содержащие компоненты вектора скорости и тензоров напряжений. Для трехмерного случая:

Матрицы-коэффициенты из вариационного неравенства (2) представимы следующим образом:

где – единичная матрица

аналогично состоит из компонентов тензора упругой податливости

При вариационное неравенство (2) соответствует модели уплотненного состояния пористого металла.

Для решения задачи деформирования пористой среды использован явный по времени алгоритм численной реализации метода сквозного счета с использованием метода расщепления по физическим процессам. На каждом шаге по времени решается задача деформирования упругой пористой среды:

(3)

используя метод двуциклического расщепления по пространственным переменным [7]. Для трехмерного случая на интервале метод расщепления состоит из следующих этапов:

 решение одномерной задачи в направлении на интервале

 решение одномерной задачи в направлении на интервале

 решение одномерной задачи в направлении на интервале

 повторный пересчет в направлении на интервале

 повторный пересчет в направлении на интервале

 повторный пересчет в направлении на интервале

Расщепление системы уравнений (3) дает несколько одномерных систем:

Искомое равно Описанный метод обеспечивает устойчивость численного решения при выполнении на всех этапах одномерных условий устойчивости и является методом второго порядка точности (при условии использования на его этапах схем второго порядка). Одномерные системы уравнений на этапах расщепления решаются при помощи явной монотонной схемы "предиктор-корректор".

Чтобы учесть пластические свойства металла, вариационное неравенство (2) заменой производной по времени конечной разностью на интервале приводится к виду:

где – решение упругой задачи (3) в момент времени Для модели пористого металла это неравенство решается достаточно просто [8].

Параллельная реализация алгоритма

Расчеты проводятся на многопроцессорной вычислительной системе. Программирование выполнено по технологии SPMD (Single Program – Multiple Data) на языке Fortran-90 с использованием библиотеки MPI (Message Passing Interface). Программа выполняет подобные вычисления, сведенные к согласованной поэтапной реализации метода расщепления по пространственным переменным. Программная реализация алгоритма осложняется необходимостью склейки решений на границах разделения области между вычислительными узлами.

Вычисления выполняются для моделирования деформации блока пористого алюминия с различными значениями пористости (5 %, 10 %, 25 %).

Литература:

1. Banhart J., Baumeister J. Deformation Characteristics of Metal Foams // Journal of Materials Science. – 1998. – Vol. 33, Iss. 6. – P. 1431–1440.

2. Gibson L.J., Ashby M.F. Cellular Solids: Structure and Properties, Second Edition // (ISBN: 978-0-521-49911-9). CambridgeUniversity Press, 1997.

3. Gibson L.J. Mechanical Behavior of Metallic Foams // Annual Review of Materials Research. – 2000. – Vol. 30. – P. 191–227.

4. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическоемоделированиевзадачахмеханикисыпучихсред. – М.: Физматлит, 2008.

5. Ashby M.F. Plastic Deformation of Cellular Materials. Encyclopedia of Materials: Science and Technology (ISBN: 978-0-08-043152-9). PergamonPress. – 2001. – P. 7068–7071.

6. Золотухин А.В. Численное моделирование свойств пористых металлов // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы авиации и космонавтики». – Красноярск: СибГАУ. – 2011. – Т. 1. – С. 138–139.

7. Марчук Г.И. Методы расщепления. – М.: Наука, 1988.

8. Sadovskii V.M., Sadovskaya O.V. Mathematical Modeling of a Metal Foam as an Elastic-Plastic Continuum with Changing Resistance // AIP Conf. Proc. – 2015. – Vol. 1648. – P. 63005-1–63005-4 (DOI: 10.1063/1.4912863).

Основные термины (генерируются автоматически): вариационное неравенство, пористый металл, реологическая схема, пористая среда, упругая податливость, повторный пересчет, одномерная задача, вектор скорости, металлический сплав, полимерный пористый материал.


Похожие статьи

Моделирование ударных волн сжатия в пористых металлах

пластическое течение, упругая деформация, волна, диаграмма связи, звено, реологическая схема, пористый металл, пористая среда, наступление пластичности, упругий предвестник.

Перенос вещества в неоднородной пористой среде с учетом...

Так, рассматривается цилиндрическая пористая среда с цилиндрической макропорой в центре, т. е. область исследования задачи состоит из двух частей: 1) Макропористая среда (макропора), имеющая радиус

Анализ маятниковых волн в слоистой среде на основе одномерной модели.

Вычислительный алгоритм для численного моделирования...

Третий этап – повторный пересчет задачи в направлении x на интервале .

К каждой из одномерных задач (4), (6) применяется явная монотонная разностная схема Годунова типа

Метод сквозного счета для численного моделирования деформации пористых металлов.

Упругие волны в горных породах и влияние различных факторов...

Скорости упругих волн зависят от многих факторов: литолого-минералогического состава породы, объема и структуры порового пространства, типа цемента, степени цементации и характера

Ляхов Г. М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах.

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной...

Уравнения переноса вещества в одномерном случае записываем в виде [4]. ,(1). , где — время, с, x-расстояние, м, - коэффициент продольный дисперсии, — скорости движения жидкости, м/с

Перенос вещества в неоднородной пористой среде с учетом неравновесной адсорбции.

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Математическая постановка задачи включает вариационное уравнение принципа

Внешние нагрузки, которые воздействует в цилиндрических преградах приняты как у плоской продольной упругой волны, которая задается в скоростях упругого смещения.

Рис. 1. Расчетная схема.

Применение режущих инструментов из синтетических... | «Молодой

В них может применяться металлическая связка, что повышает их прочность.

Скорость резания при обработке материалов инструментом из КНБ.

Технологию создания СМП из КНБ для обработки сверхпрочных металлов освоили на одном из предприятий Москвы.

Закономерности формирования структуры пеноминеральных...

Скорость истечения жидкости из капилляров пористого материала под действием силы тяжести определяется уравнением Пуазейля

Учитывая квадратичную зависимость скорости истечения дисперсионной среды от размера частиц воздушной фазы, для повышения...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Моделирование ударных волн сжатия в пористых металлах

пластическое течение, упругая деформация, волна, диаграмма связи, звено, реологическая схема, пористый металл, пористая среда, наступление пластичности, упругий предвестник.

Перенос вещества в неоднородной пористой среде с учетом...

Так, рассматривается цилиндрическая пористая среда с цилиндрической макропорой в центре, т. е. область исследования задачи состоит из двух частей: 1) Макропористая среда (макропора), имеющая радиус

Анализ маятниковых волн в слоистой среде на основе одномерной модели.

Вычислительный алгоритм для численного моделирования...

Третий этап – повторный пересчет задачи в направлении x на интервале .

К каждой из одномерных задач (4), (6) применяется явная монотонная разностная схема Годунова типа

Метод сквозного счета для численного моделирования деформации пористых металлов.

Упругие волны в горных породах и влияние различных факторов...

Скорости упругих волн зависят от многих факторов: литолого-минералогического состава породы, объема и структуры порового пространства, типа цемента, степени цементации и характера

Ляхов Г. М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах.

Численное решение задачи переноса вещества в двухзонной...

Уравнения переноса вещества в одномерном случае записываем в виде [4]. ,(1). , где — время, с, x-расстояние, м, - коэффициент продольный дисперсии, — скорости движения жидкости, м/с

Перенос вещества в неоднородной пористой среде с учетом неравновесной адсорбции.

Колебания упругого полупространства с цилиндрическими...

Математическая постановка задачи включает вариационное уравнение принципа

Внешние нагрузки, которые воздействует в цилиндрических преградах приняты как у плоской продольной упругой волны, которая задается в скоростях упругого смещения.

Рис. 1. Расчетная схема.

Применение режущих инструментов из синтетических... | «Молодой

В них может применяться металлическая связка, что повышает их прочность.

Скорость резания при обработке материалов инструментом из КНБ.

Технологию создания СМП из КНБ для обработки сверхпрочных металлов освоили на одном из предприятий Москвы.

Закономерности формирования структуры пеноминеральных...

Скорость истечения жидкости из капилляров пористого материала под действием силы тяжести определяется уравнением Пуазейля

Учитывая квадратичную зависимость скорости истечения дисперсионной среды от размера частиц воздушной фазы, для повышения...

Задать вопрос