Антиплоская задача для упругой полуплоскости с жестким включением | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №10 (114) май-2 2016 г.

Дата публикации: 15.05.2016

Статья просмотрена: 33 раза

Библиографическое описание:

Самойлова И. А., Смирнова М. А. Антиплоская задача для упругой полуплоскости с жестким включением // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 302-304. — URL https://moluch.ru/archive/114/30089/ (дата обращения: 23.09.2018).



Механика упругой среды или теории упругости занимается деформацией и движением упругих тел под влиянием внешних воздействий, в качестве которых рассматриваются поверхностные нагрузки, массовые силы (например, вес), нагревание или охлаждение тела. Отсюда основной задачей механики упругой среды является определение перемещений любой точки тела по заданной внешней нагрузке. Для постановки и решения подобных задач первоначально необходимо провести математическое моделирование механики упругой среды [1].

Пусть в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей имеется включение в виде полосы: ,, расположенное в плоскости .

Требуется найти поле напряжений и смещений, если к внешнему краю указанного включения приложена равномерно распределенная сдвигающая нагрузка интенсивности Сформулированная задача эквивалентна следующей краевой задаче

(1)

в которой уравнение Лапласа должно удовлетворяться всюду, кроме (области, занятой включением).

При переходе через включение касательное напряжение терпит разрыв, а смещения непрерывны и постоянны, то есть

(2)

Роль интегрального преобразования будет выполнять преобразование Фурье [2]. Умножим (1) на , проинтегрируем по частям раздельно на интервалах , и на основании (2) получаем следующую одномерную краевую задачу:

(3)

Фундаментальная функция уравнения (3) имеет вид (5), через которую решение задачи (3) запишется в виде

Во втором интеграле введем замену и доопределим функцию , получаем

Следовательно,

(4)

Обращая полученную трансформанту, находим,

где

Окончательно, для жесткого включения

(5)

Как видим из (5), смещения выражаются через расходящийся интеграл. Чтобы от него избавиться, следует перейти к относительным смещениям, то есть

Получим сходящийся интеграл для относительных смещений, вычислим его

Тогда

(6)

Получаем следующую формулу для смещений

Откуда

или

(7)

где

Реализуем второе условие из (2), приходим к

(8)

Уравнение (8) решаем с помощью спектрального соотношения

(9)

Для применения (9) к (8) сделаем замену ,то есть перейдем к интервалу (-1,1). Решение ищем в виде

(10)

В результате получаем

или (11)

Произвольную постоянную реализуем с помощью условия включения или

Окончательно запишется в виде

(12)

Подставляя (12) в (7), получаем формулу для смещений

(13)

Так как касательные напряжения и , тогда с учетом (13) получим

Последние три формулы и определяют решение поставленной антиплоской задачи для полупространства с жестким включением. Построенное решение может быть использовано при рассмотрении соответствующих технических проблем, когда их модель сводится к решению указанной задачи.

Литература:

  1. Попов Г. Я., Абдыманапов С. А., Ефимов В. В., Игликов А. И. Метод разрывных решений в задачах математической физики. — Караганда, 1993. — с.97.
  2. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1997. — с.744.
Основные термины (генерируются автоматически): упругая среда, жесткое включение, смещение.


Похожие статьи

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Рассмотрим частную задачу о прохождении волн большой длины в упругой среде, содержащей малую объёмную долю жёстких сферических включений, обобщенное перемещение для волнового движения в

, где — соответственно компоненты по теории напряжений и смещений.

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра...

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра...

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле

Модели блочной среды для исследования колебательных...

Модель блочной среды с упругими прослойками.

Модель блочной среды с жестким контактом. Построим теперь более общую модель распространения продольных волн, учитывающую контактное взаимодействие блоков.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

Если жидкость заменена упругой средой, то на контакте двух сред ставятся следующие условия: (3, b).

На границе контакта слоев r=r2 ставится условие жесткого (или скользящего) контакта (непрерывны нормальные составляющие напряжений и смещений, отсутствуют...

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

По мере возрастания внешней нагрузки в такой среде вокруг отверстий образуются зоны повышенных

Напряжения и смещение можно выразить через аналитическую функцию [16].

На основании полученных результатов на рис. 2 в случае жесткого включения при

Для любого упругого включения картина напряженного состояния будет занимать промежуточное...

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

. На контакте двух тел r = rj выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта).

Решение некоторых классических пространственных задач теории...

Основные термины (генерируются автоматически): упругое включение, жесткое включение, график, упругое пространство, тензор напряжений, компонент тензора, задача

Исследование статической задачи несимметричной теории упругости для изотропной среды.

Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической...

На контакте двух тел r= R выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта).

Филиппов И. Г., Егорычев О. А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах..

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

О затухании волн в структурно неоднородных упругих средах

Рассмотрим частную задачу о прохождении волн большой длины в упругой среде, содержащей малую объёмную долю жёстких сферических включений, обобщенное перемещение для волнового движения в

, где — соответственно компоненты по теории напряжений и смещений.

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра...

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра...

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле

Модели блочной среды для исследования колебательных...

Модель блочной среды с упругими прослойками.

Модель блочной среды с жестким контактом. Построим теперь более общую модель распространения продольных волн, учитывающую контактное взаимодействие блоков.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

Если жидкость заменена упругой средой, то на контакте двух сред ставятся следующие условия: (3, b).

На границе контакта слоев r=r2 ставится условие жесткого (или скользящего) контакта (непрерывны нормальные составляющие напряжений и смещений, отсутствуют...

Трещины в композите, армированном однонаправленными...

По мере возрастания внешней нагрузки в такой среде вокруг отверстий образуются зоны повышенных

Напряжения и смещение можно выразить через аналитическую функцию [16].

На основании полученных результатов на рис. 2 в случае жесткого включения при

Для любого упругого включения картина напряженного состояния будет занимать промежуточное...

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

. На контакте двух тел r = rj выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта).

Решение некоторых классических пространственных задач теории...

Основные термины (генерируются автоматически): упругое включение, жесткое включение, график, упругое пространство, тензор напряжений, компонент тензора, задача

Исследование статической задачи несимметричной теории упругости для изотропной среды.

Динамические напряжения и смещения вблизи цилиндрической...

На контакте двух тел r= R выполняется равенство смещений и напряжений (условие жесткого контакта).

Филиппов И. Г., Егорычев О. А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах..

Задать вопрос