Библиографическое описание:

Жалолов О. И., Жалолов И. Ф. Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле // Молодой ученый. — 2016. — №10. — С. 10-11.



Рассмотрим кубатурную формулу вида

(1)

над пространством Соболева , где -мерный единичный куб.

Обобщённая функция

(2)

называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),

является погрешностью кубатурной формулы (1), весовая функция, — характеристическая функция , и коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и — дельта-функция Дирака.

Определение. Пространство — определяется как пространство функций заданных на -мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка , суммируемые со степенью в норме (см. [1])

(3)

где

Справедлива следующая

Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие Декартовых произведений, т. е.

и

- константы,(4)

т. е.

- константы, ,(5)

то

- константа,(6)

или

,

где , и .

С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.

Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при и является оптимальной по порядку сходимости над пространством т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство

.

Доказательство.

На основе леммы при имеем , .

Итак,

.(7)

Подставляя (7) в неравенство

получим

,(8)

Из теоремы Н. С. Бахвалова [3] и неравенство (8) следует доказательство сформулированной теоремы.

Литература:

  1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974–808с.
  2. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988, — 333с.
  3. Бахвалов Н. С. С Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной, Мат. заметки, 1972, т.2. № 6, -С.655–664.
Основные термины (генерируются автоматически): кубатурной формулы, асимптотической оптимальной кубатурной, оптимальной интерполяционной формулы, узлы кубатурной формулы, погрешностью кубатурной формулы, нормы функционала погрешности, -мерный единичный куб, -мерном единичном кубе, обобщённые производные порядка, доминирующей смешанной производной, Весовая кубатурная формула, теорию кубатурных формул, Соболева непериодических функций, характеристик классов функций, применения функционального анализа, Обобщённая функция, пространством Соболева, теоремы Н, весовая функция, характеристическая функция.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос