Кратчайшие линии на поверхности цилиндра | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 09.04.2016

Статья просмотрена: 97 раз

Библиографическое описание:

Эгамов Н. М. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 361-363. — URL https://moluch.ru/archive/112/28358/ (дата обращения: 24.09.2018).



Известно, что поверхность цилиндра имеет систему прямых линий, параллельных оси цилиндра, а следовательно, и друг другу. Эти прямые называются образующими цилиндра.

Зададим на поверхности цилиндра две точки Аи В (рис.1-а). Будем искать среди кривых, расположенных на цилиндре и соединяющих точки Аи В, ту, которая обладает наименьшей длиной. Обозначим эту кратчайшую кривую, соединяющую точки Аи В, через АВ. Сначала рассмотрим случай, когда Аи В не лежат на одной образующей.

Разрежем боковую поверхность цилиндра по некоторой образующей РQ (не пересекающей АВ) и развернем ее на плоскость; получим некоторый прямоугольник (рис.1-б) (одна пара сторон прямоугольника, Р′Р″ и Q″Q″, получилась от развертывания окружностей, ограничивающих боковую поверхность цилиндра; друга пара P′Q′ и P″Q″, образовалась из двух краев разреза РQ). Образующие цилиндра перейдут в прямые, параллельные стороне Р′Q′ прямоугольника. Точки Аи В перейдут в точки А′и B′ лежащей внутри прямоугольника. Линии, соединяющие на цилиндре точки Аи В, перейдут в плоские линии, соединяющие точки А′ и B′ внутри прямоугольника. Дуга АВ — кратчайшая из линий на цилиндре, соединяющих точки Аи В — перейдет в кратчайшую из плоских линий, соединяющих точки А′ и B′ т. е. в прямолинейный отрезок А′ B′. Таким образом, после развертывания боковой поверхности цилиндра в плоский прямоугольник кратчайшая дуга АВ на поверхности цилиндра переходит в прямолинейный отрезок А′B′. Образующие цилиндра Р1Q1, Р2Q2 … переходит в прямые Р1′Q1′, Р2′Q2′ …, параллельные сторонам Р′Q′, Р″Q″ прямоугольника Р′Q′, Q″Р″. Углы, которые образует отрезок А′B′ с этими прямыми, равны как соответственные углы при параллельных линиях. Обозначим величину каждого из них через α.

Теперь свернем прямоугольник Р′Q′, Q″Р″ (склеив его противоположные стороны Р′Q′ и Р″ Q″) так, чтобы он вновь принял первоначальную форму цилиндра. Точки А′ и В′ перейдут вновь в точки А и В цилиндра, а прямолинейный отрезок А′В′, их соединяющий- в кратчайшую дугу АВ на поверхности цилиндра; углы отрезка А’В’ с прямыми Р1′Q1′, Р2′Q2перейдут в равные им углы между дугой АВ и образующими Р1′Q1′, Р2″ Q2″ …цилиндра. Так как прямая А’В’ пересекла все прямые, параллельные Р′Q′, под равными углами α, то кратчайшая дуга АВ в которую переходит А′В′, пересекает все образующие цилиндра под равными углами α (рис.1-а).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рассмотрим особый случай, когда точки Аи В лежат на одной образующей (рис.2-а). В этом случае, очевидно, отрезок АВ образующей будет кратчайшим расстоянием между точками А и В на поверхности цилиндра.

Выделим еще случай, когда точки Аи В лежат на одном круговом сечении цилиндра (рис.2-б). Дуга АВ этого сечения перпендикулярна ко всем образующим. Она служим кратчайшей дугой, соединяющей точки А и В.

Если разрезать цилиндр по образующей, не пересекающей дуги АВ, и развернуть его в плоский прямоугольник, то в двух особо рассмотренных случаях кратчайшая дуга перейдет в отрезок, параллельный сторонам прямоугольника. Во всех остальных случаях кратчайшая линия пересекает образующие под углом, отличным от прямого (и не равным нулю).

Винтовой линией называется линия на поверхности цилиндра, которая пересекает все образующие цилиндра под равными углами, отличными от прямого.

Будем обозначать угол между винтовой линией и образующие через α. Линия, пересекающая образующие цилиндра под прямым углом, есть круговое сечение. Можно рассматривать круговое сечение как предельный случай винтовой линии, когда α обращается в прямой угол. Точно так же образующую цилиндра можно рассматривать как другой предельный случай, когда α обращается в нуль.

Рассмотрим два движения по поверхности цилиндра: движение параллельное оси (по образующей), и вращение вокруг оси (по круговому сечению) с постоянными скоростями.

Каждое из этих движений можно вести в двух противоположных направлениях. Будем считать на вертикальном цилиндре движение вверх положительным вращением вращение на вертикальном цилиндре справа налево (для того, кто стоит вдоль оси головой вверх), или против движения часовой стрелки. Будем считать отрицательным вращением вращение слева направо — движению часовой стрелки.

Движение по винтовой линии получается в результате складывания двух движений: движения, параллельного оси цилиндра, и вращения вокруг оси. Винтовая линия называется правой, если по ней движение вверх сочетается с положительным вращением — справа налево (рис. 3), левой, если по ней движение вверх сопровождается отрицательным вращением (слева направо).

Рис. 3.

Рис.4

Большинство вьющихся растений (вьюнок, фасоль), завиваясь вокруг вертикальной опоры, принимает форму правых винтовых линий (рис.4-а). С другой стороны, хмель, например, принимает форму левой винтовой линии (рис.-4б).

Пусть, двигаясь по винтовой линии, точка пересечет некоторую образующую в точке М, а при продолжении движения по винтовой линии она вновь пересечет эту же образующую в точке N; когда точка прошла дугу MN винтовой линий, она совершила полный оборот вокруг оси цилиндра; в это же время она прошла вверх расстояние, равное длине отрезка MN (рис.3). Если скорость вращательного движения равно нулю, и точка перемещается только параллельно оси цилиндра по образующей, наступает первый предельный случай; другой предельный случай наступит, если скорость перемещения, параллельного оси цилиндра, равна нулю и точка только вращается вокруг оси по окружности.

Основные термины (генерируются автоматически): Аи В, винтовая линия, поверхность цилиндра, образующая, ось цилиндра, цилиндр, движение, кратчайшая дуга АВ, боковая поверхность цилиндра, круговое сечение.


Похожие статьи

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Данный способ основан на следующем: если ось любой поверхности вращения проходит через центр шара, то данная поверхность пересекается с

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей...

Построение линии пересечения двух цилиндров...

Рис. 1. Линия пересечения двух цилиндров. Параметрическое уравнение первого цилиндра (рис. 1) имеет вид: (1).

Линия пересечения цилиндров равного радиуса в положительном направлении оси Х представлена на рисунке 4.

Урок математики: «Площадь круга. Длина окружности. Цилиндр

Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, высотой, образующей цилиндра. Из каких фигур состоит развёртка цилиндра? По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности цилиндра?

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

Какие свойства имеют образующие цилиндра? (Образующие цилиндра параллельны и равны, так как при

При изучении пересечения цилиндра с плоскостью ставится проблема: Как плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность?

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

В ходе работы была рассмотрена контактная задача кручения полого линейно-упругого цилиндра в цилиндрических координатах. Рассмотрим цилиндр, внутренний радиус которого равен R, а внешний R1. Внешняя поверхность цилиндра жестко закреплена.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой .

Процесс создание моделей состоит из этапов: Построить ось вращения и образующую конуса. Применить операцию вращения.

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

В этих уравнениях — длина дуги срединной поверхности недеформированной арки-полоскии, — угол между осью и нормалью к срединной поверхности в деформированной конфигурации, — усилие, действующее в срединной поверхности...

Основные эксплуатационные дефекты гильз цилиндров...

5. Износ внутренней поверхности цилиндров.

При движении поршня вниз (в первый момент) происходит интенсивное изнашивание зеркала цилиндра и поршневого кольца.

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

Условия (3) при r= 0 в физическом плане можно интерпретировать как результат предельного перехода от полого цилиндра со свободной внутренней поверхностью к сплошному, при стремлении внутреннего радиуса к нулю. В случае бегущих гармонических волн вдоль оси z...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Данный способ основан на следующем: если ось любой поверхности вращения проходит через центр шара, то данная поверхность пересекается с

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей...

Построение линии пересечения двух цилиндров...

Рис. 1. Линия пересечения двух цилиндров. Параметрическое уравнение первого цилиндра (рис. 1) имеет вид: (1).

Линия пересечения цилиндров равного радиуса в положительном направлении оси Х представлена на рисунке 4.

Урок математики: «Площадь круга. Длина окружности. Цилиндр

Объясните, что называют основанием, боковой поверхностью, высотой, образующей цилиндра. Из каких фигур состоит развёртка цилиндра? По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности цилиндра?

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

Какие свойства имеют образующие цилиндра? (Образующие цилиндра параллельны и равны, так как при

При изучении пересечения цилиндра с плоскостью ставится проблема: Как плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность?

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов...

В ходе работы была рассмотрена контактная задача кручения полого линейно-упругого цилиндра в цилиндрических координатах. Рассмотрим цилиндр, внутренний радиус которого равен R, а внешний R1. Внешняя поверхность цилиндра жестко закреплена.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой .

Процесс создание моделей состоит из этапов: Построить ось вращения и образующую конуса. Применить операцию вращения.

Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

В этих уравнениях — длина дуги срединной поверхности недеформированной арки-полоскии, — угол между осью и нормалью к срединной поверхности в деформированной конфигурации, — усилие, действующее в срединной поверхности...

Основные эксплуатационные дефекты гильз цилиндров...

5. Износ внутренней поверхности цилиндров.

При движении поршня вниз (в первый момент) происходит интенсивное изнашивание зеркала цилиндра и поршневого кольца.

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

Условия (3) при r= 0 в физическом плане можно интерпретировать как результат предельного перехода от полого цилиндра со свободной внутренней поверхностью к сплошному, при стремлении внутреннего радиуса к нулю. В случае бегущих гармонических волн вдоль оси z...

Задать вопрос