Регуляризация решения неклассического интергального уравнения со условиями Липшица | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 16.04.2016

Статья просмотрена: 17 раз

Библиографическое описание:

Чоюбеков С. М. Регуляризация решения неклассического интергального уравнения со условиями Липшица // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 34-38. — URL https://moluch.ru/archive/112/27868/ (дата обращения: 20.07.2018).



Модели многих задачи прикладного характера сводятся к уравнением [2], среди которых неклассические уравнения представляют особые интересы и мало изучены. В данной работе построено регуляризирующее уравнение для неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода в пространстве непрерывных функций с условием Липшица [6].

Models of many problems of applied nature are reduced to the equation [2], including non-classical equations of special interest and are poorly understood. In this paper we built a regularizing equation for non-classical Volterra integral equation of type I in the space of continuous functions with Lipchitz condition [6].

Расмотрим интегральное уравнение

(1)

где при всех и известные фунции в области и на отрезке соответственно

Уравнение вида (1) возникает при решении многих прикладных задач [2], [4]. Однако, уравнения такого типа значительно менее исследованы, чем классические уравнения Вольтерра I рода.

В данной работе в предположении следуя по методу предположенному М. Иманалиевым и А. Асановым [1] строится регуляризация (1) в ппространстве непрерывных функций.

Следуя по методике предложенный в [1]- [4] и развитат в [5] строим регуляризация уравнение для (1).

Лемма 1. (Обобщенная формула Дирихле). Пусть cтрого возрастающая функция на при всех Тогда для любого

где обратная функция к

Доказательство. Доказательство вытекает из следующего графика:

Предполагаем выполнение следующих условий

10 при почти всех

20 и при всех

30 Функция удовлетворяет условию Липщица по т. е. и при всех - const.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение

(2)

где, - решение уравнения (1).

Его решение будем искать в виде (3)

Тогда из (2) имеем .

Последнее перепишем в следующем виде

(4)

Используя резольвенту ядра из (4) получим

Из последнего переходим

(5)

Применим обобщенную формулу Дирихле и преобразуем двойные интегралы в (5):

(6)

(7)

(8)

(9)

В силу (6)-(9) уравнение (5) примет вид

(10)

Введем обозначения

(11)

(12)

(13)

(14)

Учитывая обозначения (11)-(14) уравнение (10) запишем в следующем виде

(15)

Далее нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполняются условия 10- 30 и функции и определены формулами (11), (12) и (13) соответственно. Тогда справедливы следующие оценки:

1) (16)

где

2)(17)

3)(18)

Доказательство. 1) Учитывая (11) и сделав подстановку имеем

2) Учитывая условия и , из (12) получим

Отсюда, интегрируя по частям, имеем

3) Учитывая условия 20 и 30, интегрируя по частям, из (13) имеем

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть выполняются условия 20 и определена по формуле (14). Тогда:

Если то

(19)

где

Доказательство: Пусть Тогда из (14) имеем

(20)

Если то

(21)

Из оценки (20) и (21) вытекает оценка (19).

Лемма 3 доказана.

Теорема 1. Пусть выполняются условия 10–30 и где Тогда: если уравнение (1) имеет решение то решение уравнения (2) при сходится по норме к решению . При этом справедлива оценка

(22)

где

Доказательство. В силу оценки (16), (17), (18) из уравнения (15), имеем

Отсюда имеем

(23)

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана, из (23) имеем

Отсюда вытекает

(24)

В силу оценки (19), из (24) получим требуемые оценки (22). Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Лавреньтев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //ДАН. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.
  2. Апарцин А.С. Неклассические упавнения Вольтера I рода. Теория и численные методы.
  3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. –М.: Наука 198-350 с.
  4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // ДАН 1989. Т. 309. № 5. С. 1052-1055.
  5. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений третьего рода // ДАН 2007. Т. 415. № 1. С. 14-17.
  6. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-Фрунзе: Илим 1988,-вып.21-С.3-38.
  7. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условием Липшица// Спец. выпуск, Вестник КНУ 2011. стр. 108-122.
  8. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. О решении неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции// Вестник ОшГУ-3 2012. стр. 48-54.
  9. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения вольтерра I рода// Вестник ОшГУ-3 202. стр. 83-88.
Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, доказательство, лемма, обобщенная формула, оценка, решение уравнения, сила оценки.


Похожие статьи

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

то для решения уравнения. (27). с начальным условием на отрезке имеет место оценка.

Доказательство леммы можно найти в работе [3]. Асимптотический характер форельных частных решений устанавливает.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3). В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик.

Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?!

Качественное исследование двумерной системы

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Доказательство.

Неустойчивость будет также иметь место в силу теорема 6.3 [1] и в том случае, когда или. Пусть в системе (1) .Тогда имеем.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11). Тогда это является решением задачи (3). Доказательство закончено.

Методические аспекты обучения доказательству студентов...

Поиски различных способов решения задач на доказательство формируют способность критической оценки своей деятельности, развивает навыки самоконтроля.

Докажите обобщение формулы Эйлера для несвязного графа.

Возможные методы решения математических задач...

Таким образом, для функций определение обобщённого решения можно заменить на только что полученное. С другой стороны, в силу произвольности и , последнее равенство эквивалентно исходному уравнению Россби. Для завершения доказательства, остается...

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Исследование условий эллиптичности «новой» постановки задачи несимметричной теории упругости важно, так как для эллиптических краевых задач характерны регулярность решений соответствующих уравнений и точные априорные оценки...

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

в) используя формулы для площадей треугольников; г) геометрический подход. Применение теоремы Стюарта при доказательстве теорем

По Т.Пифагора для треугольника АВС получаем: . Записываем три уравнения в систему и решаем её. Получаем, что АВ=10.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных...

то для решения уравнения. (27). с начальным условием на отрезке имеет место оценка.

Доказательство леммы можно найти в работе [3]. Асимптотический характер форельных частных решений устанавливает.

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3). В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Формулы, теоремы, доказательства и многое другое, должен знать и помнить ученик.

Но чаще всего ученик использует формулу дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения. Но зачем идти трудным путем, когда есть легкое решение?!

Качественное исследование двумерной системы

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Доказательство.

Неустойчивость будет также иметь место в силу теорема 6.3 [1] и в том случае, когда или. Пусть в системе (1) .Тогда имеем.

Разрешимость одной краевой задачи для...

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11). Тогда это является решением задачи (3). Доказательство закончено.

Методические аспекты обучения доказательству студентов...

Поиски различных способов решения задач на доказательство формируют способность критической оценки своей деятельности, развивает навыки самоконтроля.

Докажите обобщение формулы Эйлера для несвязного графа.

Возможные методы решения математических задач...

Таким образом, для функций определение обобщённого решения можно заменить на только что полученное. С другой стороны, в силу произвольности и , последнее равенство эквивалентно исходному уравнению Россби. Для завершения доказательства, остается...

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Исследование условий эллиптичности «новой» постановки задачи несимметричной теории упругости важно, так как для эллиптических краевых задач характерны регулярность решений соответствующих уравнений и точные априорные оценки...

Теорема Стюарта и применение её для решения задач

в) используя формулы для площадей треугольников; г) геометрический подход. Применение теоремы Стюарта при доказательстве теорем

По Т.Пифагора для треугольника АВС получаем: . Записываем три уравнения в систему и решаем её. Получаем, что АВ=10.

Задать вопрос