Автор: Чоюбеков Сапарбек Мийзамбекович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (112) апрель-2 2016 г.

Дата публикации: 16.04.2016

Статья просмотрена: 16 раз

Библиографическое описание:

Чоюбеков С. М. Регуляризация решения неклассического интергального уравнения со условиями Липшица // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 34-38.



Модели многих задачи прикладного характера сводятся к уравнением [2], среди которых неклассические уравнения представляют особые интересы и мало изучены. В данной работе построено регуляризирующее уравнение для неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода в пространстве непрерывных функций с условием Липшица [6].

Models of many problems of applied nature are reduced to the equation [2], including non-classical equations of special interest and are poorly understood. In this paper we built a regularizing equation for non-classical Volterra integral equation of type I in the space of continuous functions with Lipchitz condition [6].

Расмотрим интегральное уравнение

(1)

где при всех и известные фунции в области и на отрезке соответственно

Уравнение вида (1) возникает при решении многих прикладных задач [2], [4]. Однако, уравнения такого типа значительно менее исследованы, чем классические уравнения Вольтерра I рода.

В данной работе в предположении следуя по методу предположенному М. Иманалиевым и А. Асановым [1] строится регуляризация (1) в ппространстве непрерывных функций.

Следуя по методике предложенный в [1]- [4] и развитат в [5] строим регуляризация уравнение для (1).

Лемма 1. (Обобщенная формула Дирихле). Пусть cтрого возрастающая функция на при всех Тогда для любого

где обратная функция к

Лабиринт Доказательство. Доказательство вытекает из следующего графика:

Предполагаем выполнение следующих условий

10 при почти всех

20 и при всех

30 Функция удовлетворяет условию Липщица по т. е. и при всех - const.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение

(2)

где, - решение уравнения (1).

Его решение будем искать в виде (3)

Тогда из (2) имеем .

Последнее перепишем в следующем виде

(4)

Лабиринт Используя резольвенту ядра из (4) получим

Из последнего переходим

(5)

Применим обобщенную формулу Дирихле и преобразуем двойные интегралы в (5):

(6)

(7)

(8)

(9)

В силу (6)-(9) уравнение (5) примет вид

(10)

Введем обозначения

Лабиринт (11)

(12)

(13)

(14)

Учитывая обозначения (11)-(14) уравнение (10) запишем в следующем виде

(15)

Далее нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполняются условия 10- 30 и функции и определены формулами (11), (12) и (13) соответственно. Тогда справедливы следующие оценки:

1) (16)

где

2)(17)

3)(18)

Лабиринт Доказательство. 1) Учитывая (11) и сделав подстановку имеем

2) Учитывая условия и , из (12) получим

Отсюда, интегрируя по частям, имеем

3) Учитывая условия 20 и 30, интегрируя по частям, из (13) имеем

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть выполняются условия 20 и определена по формуле (14). Тогда:

Если то

Лабиринт (19)

где

Доказательство: Пусть Тогда из (14) имеем

(20)

Если то

(21)

Из оценки (20) и (21) вытекает оценка (19).

Лемма 3 доказана.

Теорема 1. Пусть выполняются условия 10–30 и где Тогда: если уравнение (1) имеет решение то решение уравнения (2) при сходится по норме к решению . При этом справедлива оценка

(22)

где

Доказательство. В силу оценки (16), (17), (18) из уравнения (15), имеем

Лабиринт Отсюда имеем

(23)

Применяя неравенство Гронуолла-Беллмана, из (23) имеем

Отсюда вытекает

(24)

В силу оценки (19), из (24) получим требуемые оценки (22). Теорема 1 доказана.

Литература:

  1. Лавреньтев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //ДАН. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.
  2. Апарцин А.С. Неклассические упавнения Вольтера I рода. Теория и численные методы.
  3. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. –М.: Наука 198-350 с.
  4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // ДАН 1989. Т. 309. № 5. С. 1052-1055.
  5. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений третьего рода // ДАН 2007. Т. 415. № 1. С. 14-17.
  6. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений первого рода //Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям.-Фрунзе: Илим 1988,-вып.21-С.3-38.
  7. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условием Липшица// Спец. выпуск, Вестник КНУ 2011. стр. 108-122.
  8. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. О решении неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции// Вестник ОшГУ-3 2012. стр. 48-54.
  9. Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения вольтерра I рода// Вестник ОшГУ-3 202. стр. 83-88.
Основные термины (генерируются автоматически): неклассического интегрального уравнения, уравнения Вольтерра, интегрального уравнения Вольтерра, нелинейных интегральных уравнений, Чоюбеков С.М, Иманалиев М.И, систем нелинейных интегральных, интегрального уравнения вольтерра, классические уравнения Вольтерра, неклассического интергального уравнения, первого рода, Бекешов Т.О, пространстве непрерывных, непрерывных функций, неклассические уравнения, integral equation of, Вольтерра первого рода, решении неклассического интегрального, Вестник ОшГУ-3, решения неклассического интегрального.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос