К оценке напряженно-деформированного состояния конических оболочек

Материал оболочки (бетон) предполагается при сжатии нелинейно-упругим, при растяжении работающей с трещинами. Закон деформирования бетона описывается при кратковременном загружении нелинейными алгебраическими уравнениями, а при длительном действии нагрузки – уравнениями нелинейной наследственной теории ползучести.

Несущая способность оболочки оценивается с учетом неупругого деформирования конструкции, на основе экспериментально установленных закономерностей, полученных при испытании конических куполов и его элементов.

Для оценки напряженно-деформированного состояния конических оболочек считается целесообразным применение разрешающего уравнения с учетом влияния краевого эффекта возникающего вблизи опорного кольца конических оболочек.

, .(1)

Если учесть, что

; (2)

то при этом длина образующей sотcчитывается от вершины конуса.

С учетом (1) усилия в срединной поверхности купола можно определить по выражениям

;

(3)

,(4)

,(5)

где N2 = .

Для линейно деформированной оболочки радиальное , осевое перемещение и угол поворота нормали представим в виде

, ,(6)

при аналогичных предположениях представим

.(7)

Деформации срединной поверхности оболочек и параметры изменения её кривизны могут быть выражены через две деформации. Для линейно деформированной оболочки радиальное , осевое перемещение и угол поворота нормали представим в виде

, ,(7)

при аналогичных предположениях представим

Таким образом, полученная система уравнений является замкнутой и в результате её интегрирования можно определить внутренние силы и перемещения и .

На основе гипотезы прямых нормалей перемещение произвольной точки оболочки (на расстояние z от срединной поверхности) с учетом осевых и цилиндрической жесткость стенки оболочки, изменениям угла поворота и максимальное деформации, возникающие в оболочке в связи с её изгибом представим в виде

, (i=1,2).(9)

В качестве физических уравнений принимаем соотношение нелинейной упругости

,

,(10)

где Е -модуль деформаций материала

,(11)

E0, – модуль упругости и коэффициент Пуассона для линейно упругого материала [1, с 26-29]; Ес – секущий модуль деформации.

Погонные усилия (рис.1) на единицу длины армированный оболочки относительно срединной поверхности определим зависимостями

Рис 1. Эпюры деформаций и напряжений в поперечном сечении железобетонной оболочки с одиночной (а) и двойной (б) арматурой

Погонные моменты на единицу длины армированной оболочки определим зависимостями

,

.(13)

Пределы интегрирования приняты равными

или ,

где –высота сжатой зоны сечения.

Высота сжатой зоны сечения определяется из геометрических соотношений (9) при на основе предложения В.М. Бондаренко [2, с 288] о совмещении нулевых деформаций и напряжений на единой нейтральной оси. Напряжения в арматуре и с учетом (9) представим

,

,(14)

.

Для случая одиночного армирования оболочки принимаются равными нулю.

Выражение для погонных усилий (12) с учетом (9)-(11), (14) после интегрирования в пределах p, qпредставим в виде

,

.(15)

здесь ;

Моментные усилия (13), с учетом геометрических (9) и физических (10) зависимостей, представим следующими выражениями

,

.(16)

;; ;;

; ;(i=1,2),

здесь – прогиб оболочки с учетом начальных дефектов, допущенных при изготовлении

,

,

, , .

Рассматривается случай больших oсесимметричных деформаций, в которых угол между нормалью и осью симметрии изменяется существенно, то есть уравнения равновесия составляется для деформированного состояния оболочки. Поэтому в отличие от рассмотренной линейной теории разница между углом для недеформированной и углом для деформированной оболочки будет существенной. В связи с этим вместо формул (7) и (8) и можно применят следующие формулы

,

, (17)

, .

Уравнения равновесия оболочки при подстановке в них значений и кривизны деформированной оболочки

,

принимают следующий вид

-,

,(18)

.

В качестве основных искомых функций выбирают величины . Следует здесь отметить, что в отличие от линейного случая, где второй неизвестной был угол поворота , в нелинейном является полный угол нормали – для деформированный оболочки. Остальные неизвестные выражаются через основные в следующем виде

;

;(19)

.

Система уравнений (18) после некоторых преобразований с учетом (17) и (19) примет вид

;

;(20)

;

.

К этой замкнутой системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными следует добавить уравнение для определения осевых перемещений [3, с 83-85]

(21)

, ;(22)

если при этом сохранить только члены первого порядка малости, то уравнения совпадут с линейными. Так же как и в линейном случае, для уравнения (20) можно решить задачу Коши-Бидермана, т.е., зная значения основных неизвестных , параметров в начальном сечении оболочки s=so,можно определить, путем интегрирования уравнений на ЭВМ значения тех же неизвестных при s=s1 . При этом, как в линейной задаче, две из четырех величин для s=so находят из граничных условий, а остальные две выбирают так, чтобы удовлетворялось условие на торце s=s1.

Приведенная методика расчета также приемлема для оценки напряженно-деформированного состояния ребристых конических оболочек куполов при линейном и нелинейном деформировании с учетом моментных и безмоментных состояний.

Литература:

1. ГОСТ 24452-80. Методы определения призменной прочности, модуля упругости и коэффициента Пуассона. М.: Госстандарт, 1981. – С. 26-29.
2. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. – М.: Стройиздат, 1982. -288 с.
3. Бердиев О.Б. Определение модуля деформации бетона в конических оболочках при высоких уровнях загружения // Науч. тр. Республиканской научно-технической конференции с участием зарубежных ученых. – Ташкент, 2010. – С. 83-85.