Применение булевых функций к релейно-контактным схемам

На данный момент наиболее актуальна проблема анализа и синтеза релейно-контактных схем при проектировании различных электронных приборов, в системе водоснабжения. Из этого можно сделать вывод, что методы логического анализа и синтеза релейно-контактных схем находят широкое применение в разных бытовых жизненных ситуациях.

Целью данной статьи является — исследовать применение релейно-контактных схем при решении профессиональных и жизненных ситуаций с помощью обращения к булевым функциям.

Релейно-контактной схемой называется устройство из проводников и двухпозиционных контактов, через которые полюсы источника тока связаны с некоторым потребителем. Контакты могут быть замыкающими и размыкающими. Каждый контакт подключен к некоторому реле (переключателю). Когда реле находится под током, все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие контакты разомкнуты; в противном случае — наоборот. Каждому реле ставится в соответствие своя пропозициональная переменная x Она принимает значение 1, если через реле проходит ток, и 0 в противном случае. На чертежах все замыкающие контакты, подключенные к реле x, обозначаются символом x, а размыкающие — символом . Это означает, что при срабатывании реле x все его размыкающие контакты не проводят ток и им сопоставляется 0. При отключении реле создается противоположная ситуация. Всей схеме также ставится в соответствие булева переменная y, которая равна 1, если схема проводит ток, и 0 в противном случае. Переменная y, соответствующая схеме, очевидно, является булевой функцией от переменных , , …, реле. Эта функция называется функцией проводимости схемы, а ее таблица — условиями работы схемы [1].

В теории релейно-контактных схем важнейшим являются следующие задачи:

                   задача синтеза релейно-контактных схем — это составление релейно-контактных схем с заданными условиями работы, которые зависят от функций, которые эта схема должна выполнять;

                   задача анализа релейно-контактных схем — это получение наиболее простой схемы, реализующей данную формулу [2].

Теперь перейдем непосредственно к решению практических задач на применение булевых функций к релейно-контактным схемам.

Задача № 1. Составить схему, позволяющую включать и выключать свет в вашей комнате любым из трех различных выключателей. Выключатели расположены у входа в комнату, над постелью и у письменного стола [3].

Используя условия, которым должна удовлетворять искомая схема, составим сначала таблицу значений функции проводимости F этой схемы. В нее войдут три неизвестных x, y,z, которые будут соответствовать трем выключателям. В последнем столбце таблицы.будем указывать 1, если свет горит и 0, если света нет. Рассмотрим набор переменных (0,0,0) (все выключатели в положении «выключен»), свет в этот момент также не горит — значение функции проводимости F будет равно 0. При наборе переменных (1,1,1) (все выключатели в положении «включен»), свет в этот момент горит — значение функции проводимости F будет равно 1. По условию задачи, при изменении положения любого из выключателей должен загореться свет, то есть на наборах (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) функция F равна 1. При следующем изменении положения любого из выключателей свет должен выключиться, то есть на наборах (1,1,0), (1,0,1) и (0,1,1) функция F равна 0 (табл.1).

Таблица 1

Зная теперь все наборы значений аргумента, на которых функция F обращается в 1, запишем выражение для нее, используя алгоритм приведения функции к совершенной дизъюнктивной нормальной форме по таблице истинности [2], а уже затем упростим его:

Изображаем релейно-контактную схему, обладающую найденной функцией проводимости (рис.1).Любую схему можно задать формулой алгебры логики, при этом конъюнкции двух высказываний соответствует последовательное соединение двух переключателей, а дизъюнкции двух высказываний — параллельное соединение двух переключателей. При этом ток будет проходить через данные схемы тогда и только тогда, когда истинностное значение соответствующей формулы — «истина» [2].

Рис. 1.

Задача № 2.

В спортивном комитете, например заводском, собралось 5 судей. Каждый из них должен голосовать за принятие различных решений. Решение принимается большинством голосов, но только при том дополнительном условии, что за него голосует председатель комитета. Судьи голосуют путем нажатия кнопки, замыкающей переключатель, расположенный под столом, за которым они сидят. Замыкая переключатель, они голосуют «за», размыкая «против». Начертите наиболее простую схему, позволяющую автоматически видеть результаты голосования. В простейшем случае просто с помощью лампочки, — зажглась — решение принято, не зажглась,- нет [3].

Используя условия, которым должна удовлетворять искомая схема, составим сначала таблицу значений функции проводимости F этой схемы. В нее войдут пять неизвестных x, y,z,u, t, так как переключатели замыкают пять судей, где x — председатель, его выделяем особо в виду условий задачи. В последнем столбце таблицы указано условие, при котором свет не горит — 0, 1- свет включится (табл. 2).

Таблица 2

Зная теперь все наборы значений аргумента, на которых функция F обращается в 1, запишем выражение для нее, используя совершенную дизъюнктивную нормальную форму, а уже затем упростим его:

В результате получаем искомую схему (рис.2).

Рис. 2.

Литература:

1.              Игошин В. И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учебн. Заведений/ В. И. Игошин. — 3-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2007.- 304 с.
2.              Сангалова М. Е. Курс лекций по математической логике: учеб. пособие / М. Е. Сангалова; ГОУ ВПО, «Арзамас. гос. пед. ин-т им. А. П. Гайдара». Арзамас, 2006. 98 с.
3.              http://electrik.info/main/fakty/229-buleva-algebra-chast-1-nemnogo-istorii.html