A qualities investigation of one group of two- dimensional systems of differential equation was realized in the study.
For this system stability conditions of singular point, disposed to the point of origin and distribution of other its singular points were achieved.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1)
где 
- вещественное числа.
Система (1) исследована в работе [2] при условии 
, а также в роботе [3] при 
.
Система (1) обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Система (1) линейным невырожденным преобразованием приводится к виду
(2)
где 
форма степени 
с вещественными коэффициентами.
Свойство 2. При нечетном 
и 
система (1) инвариантна при замене 
и 
на 
и 
.
Свойство 3. Особая точка 
системы (1) есть четырехсепаратрисное седло, если 
; фокус или центр, если 
Свойство 4. Если форма
знакопостоянна, то у системы (1) в плоскости 
нет замкнутых траекторий.
Свойство 5. На каждом луче 
может лежать по две диаметрально противоположны особенны точек (кроме начала координат) системы (1), где 
- вещественный корень алгебраического уравнения
Свойство 6. При 
-четное, если форма
знакопостоянна, то у системы (1) нет замкнутых траекторий в плоскости
.
1. Устойчивость нулевого решения
Теорема 1. Пусть 
нечетные числа и 
, или 
, тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Применим второй метод Ляпунова. Пусть функция Ляпунова имеет вид
.
Тогда 
в силу системы (1) примет вид
где 
многочлен. Знак функции 
при малых значениях 
определяется знаком выражения 
которое при является определенно отрицательной и нулевое решение асимптотически устойчиво.
Если 
или 
, то на основании теорема 5.2 [1] следует асимптотическая устойчивость нулевого решения.
Если же 
, то нулевое решение неустойчиво в силу свойства 3, особая точка 
- неустойчивый фокус.
Неустойчивость будет также иметь место в силу теорема 6.3 [1] и в том случае, когда 
или 
Пусть в системе (1)
.Тогда имеем
(3)
является решением. Чтобы определить тип особой точки и её устойчивость, применим метод Фромера. Введем подстановку
, 
,
Тогда имеем
(4)
Обозначим степени 
числителя уравнения (4) через
и построим на плоскости 
эти прямые, и находим 
.
При этом значении 
уравнение (6) примет вид
(5)
где
- квазимногочлены,
.
Особым точкам (0,0) и 
дифференциального уравнения (5) соответствуют исключительные направления 
(ось ох) и 
дифференциального уравнения (3). Сначала исследуем особой точки уравнения (5), определяемые из системы
.
может быть узел и седло, причем здесь если 
,то -узел, а если 
, то– седло.
Аналогично, если 
, то 
-узел, если 
, то -узел, где 
.
Возможны следующие неравенства
1). 
,
2).
,
3). 
,
4). 
,
5).
,
6). 
.
При выполнении 1), 2) исключительное направление 
будет 1-го, и исключительное направление 
2-го типа;
при 3), 6) — наоборот: 2-го, а 1-го типа; при 4) и 5) оба исключительные направления 2-го типа.
Отсюда следует, что в случае 
начало координат для дифференциального уравнения (5) является узлом, в случае 
седлом, причем при 
узел устойчивый, а при 
неустойчивый.
Т.о. имеет место:
Теорема 2. Пусть 
, 
-нечетное число. Тогда нулевое решение 
системы (1) при асимптотически устойчиво.
Пусть в системе (1) , и -четное число, тогда дифференциальное уравнение (5) имеет три изолированы особы точек (0,0), 
если 
, и только одну (0,0), если 
.
В силу свойства 2 особые точки 
будут одного типа. В данном случае, если:
1). 
, то (0,0) –узел, седло.
2).
,то (0,0) –седло, при 
при. узлы, а при 
-седла.
3).
,то (0,0) — узел.
4). 
(0,0) — седло.
При переходе в плоскости 
следует отметить, что особым точкам соответствуют исключительные направления состоящих из полупарабол, т. е. двум особым точкам соответствует одна парабола с осью симметрии 
.
Т.о. имеет место:
Теорема 3. Пусть 
четное, 
, то особая точки (0,0) системы (1) является:
1) при или при 
закрытый седло-узел с одной эллиптической и одной гиперболической областью;
2) при 
четырёхсепаратрисное седло;
3) при 
закрытый узлом с двумя эллиптическими областями;
4) При 
вырожденное седло.
2. Распределение изолированных особых точек
Изучим распределение изолированных особых точек системы (1).
Форма
разлагается на множители
,
где 
корни уравнения
. (6)
Отметим, что для того, чтобы все различных корней уравнения (6) были вещественными необходимо и достаточно, чтобы её матрица 
была иннорно — положительной [4]. Количество особых точек зависит от четности чисел 
и 
в системе (1).
а) 
-четное:
Каждая изоклина 
пересекается с изоклиной бесконечности
(7)
в двух взаимно симметричных относительно начала точках и система может иметь 
изолированных особых точек.
б) - нечетное, то количество особых точек не более 
, так как каждая изоклина нуля 
пересекается с изоклиной бесконечности (7) только один раз.
Т.о. в силу свойств 1–6 имеет место:
Теорема 4. а). Пусть 
-нечетные числа, матрица иннорно положительна и 
. Тогда система (1) имеет изолированных особых точек, причем 
из них будут антиседлами, другие 
-седлами и наоборот: -седлами, -антиседлами.
Если 
-нечетное,
- четное, имеет место
в) Пусть 
- нечетное, 
-четное, матрица иннорно положительна и 
. Тогда система (1) имеет -изолированных особых точек, причем возможны случаи
1) 
-антиседел, - седел.
2) 
-антиседел, 
-седло или наоборот особая точка 
— вырожденное седло.
2.3. 
-четное, 
нечетное. Имеет место
с) Пусть -четное, -нечетное, матрица иннорно-положительна и 
.Тогда система (1) имеет 
изолированных особых точек, причем 
из них антиседел и 
других седел или наоборот. – вырожденное седло.
2.4. 
-четное. Имеет место
е) Пусть -четное, матрица иннорно положительна и . Тогда система (1) имеет 
изолированных особых точек, причём 
из них седла, а другие 
-антиседла, — вырожденное седло.
3. Распределение особых точек дифференциального уравнения (5).
Форма
разлагается на множители 
, где 
корни уравнения
. (8)
Здесь для того, чтобы все 
различные корни уравнения (8) были вещественными, необходимы и достаточно, чтобы её матрица 
была иннорно-положительной.
Количество особых точек зависит от четности чисел 
и 
в уравнении (5).
Исследуем дифференциальное уравнение (5) в условиях.
3.1. 
- нечетные. Имеет место:
Теорема 5. Пусть матрица иннорно-положительна и ,тогда уравнение (5) имеет 
изолированных особых точек, причем если 
из них будут антиседлами, другие 
сёдлами и наоборот - седлами, другие -антиседлами, если 
.
3.2. 
-нечетное, 
-четное. Имеет место:
Теорема 6. Пусть матрица иннорно — положительна и 
. Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет 
-изолированных особых точек, причем возможны случаи:
1) 
-антиседла, 
седла;
2) -антиседла, седла;
3)
- антиседла, -седла, где – узел в случае 
и седло, если 
.
3.3.
-четное, 
-нечетное. Имеет место:
Теорема 7. Пусть матрица иннорно положительна и . Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет 
-изолированных особых точек, причем возможны случаи 
-антиседла и 
сёдел или наоборот. – может быть закрытый седло узел, седло, закрытый узел. Вырожденное седло (см. Теорема 3).
3.4. 
-четные. Имеет место:
Теорема 8. Пусть матрица иннорно положительна и 
. Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет 
изолированных особых точек, причем 
из них седла, а другие -антиседла. в силу теорема 3 может быть закрытый седло-узел, закрытый узел, седло или вырожденное седло.
Система (1) и дифференциальное уравнение (5) исследованы при отсутствии замкнутых траекторий (см. свойство 4 и 6).
Пример. В качестве примера рассмотрим систему
Применяя к системе преобразование 
, получим:
Матрица 
уравнения изоклины нуля 
иннорно положительно и функция 
распадается на четыре линейных множителя. Кривая Шаля
имеет одну действительную, два мнимых осимпты и три действительных точек перебега. Данная система имеет девять особых точек: 
-вырожденное седло, 4 –антиседла, 4-седла.
Литература:
- Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. Москва. Наука. 1967 г.
- Мухтаров Я. Распределение особых точек двумерной системы специального вида. Вопросы теории дифференциальных уравнений и их приложений. Самарканд, 1989 г., ст. 22–25.
- Шарипов Ш. Р. Исследование характеристик в целом. Известия ВУЗов «Математика» № 1, 1965г.
- Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. Москва, Наука, 1979г.
