Рассмотрим в области , с границей
и
— цилиндр, с боковой гранью
.
Ставится задача найти решение следующих уравнений [1], [2]:
(1)
(2)
(3)
(4)
здесь (1) — уравнение движения, (2) — закон импульса, (3), (4) — уравнения состояния: (3) — вязкоупругая среда Максвелла, (4) — уравнение Кельвина-Фойгта; B — матрица коэффициентов Ламе, симметричная, положительно определенная, С — матрица, состоящая из коэффициентов вязкости, симметричная, положительно определенная, — диагональная матрица,
— вектор скоростей, * — означает транспонирование,
— вектор напряжений,
— вектор деформаций; опорный оператор R определяется следующим образом [1]:
(5)
Матрицы В, С, — перестановочны.
К соотношениям (1)-(4) нужно добавить соотношения перемещение-деформации:


После несложных преобразований приходим к уравнениям:
(6)
для среды Максвелла,
(7)
для среды Кельвина-Фойгта.
Решение задачи (1)-(3), (6) будем искать в цилиндре . При этом
(8)
(9)
Предположим, что на боковой поверхности цилиндра Q искомое решение удовлетворяет одному из приведенных ниже однородных краевых условий;
(10)
Начальные данные (8), (9) и краевые условия (10) будем считать согласованными. При этом задачу (1)-(3), (6) назовем задачей (I), а задачу (1), (2), (4), (7) — задачей (II).
Как известно, если , то справедлива оценка
(11)
В соответствии с методом фиктивных областей [3], [4], дополним исходную область D некоторой областью до составной области
с границей
.
В составной области рассмотрим задачу:
(12)
где — малый параметр и
На границе ставятся условия согласования:
(13)
где n — вектор нормали к границе
, знаки «+» или «-» означают стремление функции изнутри и извне границы
. Параметр P принимает значение 1 или -1.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Верна оценка
(14)
Здесь и
соответствуют решению задачи (12), (13) и отвечают значению параметра
и
.
Доказательство. Рассмотрим следующие ряды: в области Q,
в области
. Ряды
,
являются абсолютно сходящимися при достаточно малых
.
В самом деле, для определения функций ,
получаем
(15)
Решения (15) имеем из теории неоднородных задач [5]
(16)
Далее получим сходимость рядов ,
Учитывая (11), (16), получим:
(17)
где .
Если , то ряд
абсолютно сходится в Q, а ряд
абсолютно сходится в норме
.
Теорема 2. Если , то справедлива следующая оценка:
(18)
где и
— решения задачи (12), (13) при
и
,
— решение задачи (I).
Доказательство. На основании теоремы 1 имеем
(19)
где ,
соответствуют параметру
.
Соответственно на основании теоремы 1 имеем

где ,
соответствуют параметру
.
Очевидно, что — решение задачи I.
Введем обозначения
тогда для функции получим задачу
Отсюда получаем или
.
Введем функцию где
удовлетворяет задаче
Отсюда получаем и, следовательно,
.
Далее, определим


(21)
Учитывая (21), подставляя в (19), (20), получим в Q:
(22)
Используя (17) и разложение (22), получаем при
Для задачи II в соответствии с методом фиктивных областей построим вспомогательную задачу
(23)
Дополним начальными и краевыми условиями из (12) и условия сопряжения (13).
Для задачи II верна
Теорема 3. Для верна оценка

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Кроме того, справедлива
Теорема 4. Если , то верна следующая оценка
(25)
где — решение задачи II,
и
— решения задачи (23) при
и
.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Запись исходных задач в терминах оператора и сопряженного
, обусловлены возможностью построения консервативных разностных схем, допускающих реализацию с помощью схем расщепления.
Литература:
- Букенов М. М., Кузнецов Ю. А. Об одной спектральной задаче теории упругости. // ВЦ СО АНСССР, Препринт, Новосибирск, 1981г. — 13 с.
- Букенов М. М. Постановка динамической задачи линейной вязкоупругости в скоростях напряжениях. // Сиб. Журнал вычислительной математики РАН. Сиб. Отд. — Новосибирск, 2005. — т.8, № 4. — с. 289–295.
- Коновалов А. Н. Об одном варианте метода фиктивных областей. // В кн. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск, 1975, с. 191–199.
- Букенов М. М. Метод фиктивных областей для среды Максвелла. // Численные методы и пакеты программ для решений уравнений математической физики. — Новосибирск, 1985 — т. 4, № 2. — с. 117–126.
- Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука. — 1967. — 736 с.