Исследование формул Мольвейде

Где материя, там геометрия.

Иоганн Кеплер

В работе рассматриваются формулы Мольвейде. В результате их исследования установлена тригонометрическая зависимость между длинами отрезков в точке пересечения биссектрис и значениями углов при вершинах некоторого треугольника. Полученные формулы можно использовать при решении задач в профильных классах по математике.

Ключевые слова: треугольник, биссектриса, длина, угол, синус, косинус.

Геометрия — удивительная наука. Её история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение — скромной математической победой.

Геометрия треугольника — одна из древнейших областей планиметрии. Наиболее активно развивалась в древней Греции и с середины 18–20 до середины 20-го века. В конце 20-го века развитие компьютеров дало возможность продолжать систематическое изучение геометрических структур, возникающих в треугольнике и их свойств. Наряду с этим, заметный прогресс в развитии данной области стал возможен благодаря экспериментальным исследованиям с использованием приближенных вычислений, подтвержденных методами вычислительной алгебры.

Давно известно, что изучение геометрии начинается с треугольника и в какой-то степени является основой геометрической науки. Также известно, что постоянно открываются его новые свойства.

Мольвейде Карл Брандан родился в Вальфенбютлерге, Германия 3 февраля 1774 года и умер 10 марта 1825 года. Немецкий математик и астроном в 1808 году опубликовал две формулы для решения косоугольных треугольников, получивших впоследствии его имя. До 1816 года работал в обсерватории Лейпцигского университета. В 1812 году он назначен ординарным профессором астрономии, а в 1814 году — ординарным профессором математики. С 1820 по 1823 годы был деканом философского факультета. Если а, в, с — длины сторон треугольника АВС , а А , В , С — величины его углов (рис.1), то

, (1)

Рис. 1

Запишем эти формулы:

, (2)

, (3)

, (4)

. (6)

«Известно, что в треугольнике АВС биссектрисы АК , ВD и CM пересекаются в точке О (рис.2). Эта точка делит биссектрисы в отношении:

, (7)

, (8)

2». (9)

Рис. 2

Из выражений (6) и (7), можно записать:

. (10)

Из выражений (4) и (9), можно записать:

, (11)

Из выражений (5) и (8) можно записать

Полученные формулы (10), (11) и (12) — это тригонометрические зависимости, выражающие отношения между длинами отрезков биссектрис в точке их пересечения и значениями углов при вершинах некоторого треугольника.

Из треугольника АВС по теореме о биссектрисе внутреннего угла имеем:

для биссектрисы АК

или , (13)

1) для биссектрисы BD

или , (14)

или , (15)

Используя выражения (14) и (15), получим:

или

Используя выражения (16) и (2), имеем:

= , (17)

Используя выражения (13) и (14), получим:

Используя выражения (18) и (3), имеем:

= , (19)

Используя выражения (13) и (15), получим:

Используя выражения (1) и (20), имеем:

Полученные формулы (17), (19) и (21) это тригонометрические зависимости, выражающие разности отношений между длинами отрезков каждой стороны треугольника, на которые они разделены биссектрисами.

Задача. В треугольнике АВС известно, что  А=75º ,  В=60º и  С=45º . В треугольнике проведены биссектрисы AK , BD и CM , которые пересекаются в точке O (рис. 2). Найти следующие соотношения: ; ; .

Литература:

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва. «Наука». 1986.
2. Некрасов В. Б. Школьная математика. Издательство «Авалон». «Азбука — классика». Санкт–Петербург. 2006.