Библиографическое описание:

Парканова С. И., Ревтова С. Н., Котлярова Т. М. Линейные уравнения // Школьная педагогика. — 2016. — №2. — С. 19-22.



Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.

Н. И. Лобачевский

Введение.

Математика — предмет, без которого не могут быть изучены, ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире. Применение математических исчислений, в том числе линейных уравнений, являются составной частью в новых научных исследованиях и вносят большой вклад в развитие современной науки и технического прогресса в целом.

Актуальность: Уравнения в математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Цель:

Изучить свойства линейных уравнений;

Отрабатывать навыки решения линейных уравнений.

Исторический экскурс.

Кто придумал уравнения?

Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант

“Он уйму всяких разрешил проблем.

И засухи предсказывал и ливни.

Поистине его познанья дивны”

Большой вклад внес среднеазиатский ученый Мухаммед аль Хорезми (IX век). –среднеазиатский математик, астроном, историк, географ — один из крупнейших ученых средневековья.

Его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете», привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математики в частности. Внес вклад в преобразование линейных уравнений.

Жаутыков Орымбек Ахметбекович (1911–1989г)

Ученый — математик. Внес значительный вклад в развитие математических наук. Академик Национальной Академии наук Республики Казахстан. Доктор физико-математических наук, профессор. Автор первого национального учебника по высшей математике. Основные научные труды посвящены математическим уравнениям, теоретической и прикладной механике.

Линейные уравнения содной переменной

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенной буквой, называется — уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, — правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Уравнение вида: ax+b=0

Называется линейным уравнением с одной переменной

(где х-переменная, а и b некоторые числа).

Х-переменная входит в уравнение обязательно в первой степени!

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Уравнение может иметь один корень: 3x+5=0

Несколько корней: y(y-2)(5+2y) = 0 Бесконечно много корней: 7(x+1) = 7x+7 Уравнение может не иметь корней: x+3=x

Решить линейное уравнениеэто значит найти все его корни или установить, что их нет. При решении уравнений могут быть использованы свойства уравнения:

  1. Корни уравнения не изменяются, если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный.
  2. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

При решении уравнений используют свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число

(не равное нулю), то получится равносильное уравнение.

Алгоритм решения линейного уравнения

  1. Раскрыть скобки в обеих частях уравнения;
  2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащую в другую;
  3. Привести подобные члены в каждой части;
  4. Разделить обе части на коэффициент при переменной.

Рассмотрим решение уравнения:

(13х-15)-(9+6х)=-3х

Раскроем скобки:

13х-15–9-6х=-3х.

Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные — в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:

13х-6х+3х=15+9.

Приведём подобные слагаемые.

10х=24.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

х=2,4

Ответ: 2,4

Так же вашему вниманию представлены следующие решения уравнений:

8у -3(2y-3) = 7y — 2(5y + 8)

8у — 6у + 9 = 7у — 10у -16

8y — 6y — 7y + 10y = -16–9

5y= -25

y= -25: 5

у= — 5

(0,5х + 1,2)-(3,6–4,5х)=(4,8–0,3х)+(10,5х + 0,6)

0,5х + 1,2–3,6 + 4,5х = 4,8–0,3х + 10,5х + 0,6

0,5х + 4,5х + 0,3х — 10,5х = 4,8 + 0,6–1,2 + 3,6

—5,2х = 7,8

х= -1,5 Ответ: -1,5

5(3х+1,2) + х = 6,8,

15х + 6 + х = 6,8,

15х + х = 6,8–6,

16х = 0,8,

х = 0,8: 16,

х = 0,05, Ответ: 0,05

5,6–7у = — 4(2у — 0,9) + 2, 4,

5,6–7у = — 8у + 3, 6 + 2,4,

8у — 7у = 3,6 + 2.4–5,6,

у = 0,4, Ответ: 0,4

—3(у + 2,5) = 6,9–4,2у,

— 3у — 7,5 = 6,9–4,2у,

4,2у — 3у = 6,9 + 7,5,

1,2у = 14,4,

у = 14,4: 1,2,

у = 12, Ответ: 12

3 (х + 6) + 4 = 8 — (5х + 2)

3х + 18 + 4 = 8–5х — 2

3х + 5х = — 18–4 + 8–2

8х = — 16

х = — 16: 8

х = — 2

Ответ: -2

Задачи на составление линейных уравнений содной переменной.

Решение задач с помощью уравнений состоит из нескольких этапов:

  1. неизвестную величину, значение которой мы хотим определить, обозначаем буквой, например x;
  2. используя эту букву и имеющиеся в задаче данные, составляем математическую модель, где два разных выражения равны друг другу;
  3. записывая эти выражения через знак равно, мы получаем уравнение,решение которого поможет найти ответ к задаче;
  4. если необходимо, выполняем дополнительные действия для нахождения ответа к задаче.

Задача: В холодильнике в общей сложности 19 куриных и перепелиных яиц. После приготовления яичницы из 2 куриных и 5 перепелиных яиц, перепелиных стало в два раза больше, чем куриных. Сколько куриных яиц было в холодильнике изначально?

Составляем модель уравнения:

Нам надо решить, какую величину мы обозначим переменной x.

Рассмотрим вариант, где x — кур. яйца изначально;

Составляем математическую модель и уравнение.

x — кур. яйца изначально;

x — 2 — кур. яйца после;

2(x — 2) — пер. яйца после;

2(x — 2) + 5 — пер. яйца изначально;

Составляем модель уравнения:

Рассмотрим выражения, которые мы можем уравнять, сумму яиц до приготовления яичницы.

x + 2(x — 2) + 5 — сумма яиц изначально

19 — сумма яиц изначально

x + 2(x — 2) + 5 = 19 уравнение, решение которого находит ответ к задаче.

Решение:

х + 2х — 4 + 5 = 19

3х = 18

х = 18: 3

x = 6

Ответ: изначально в холодильнике было 6 куриных яиц.

Задача: По шоссе едут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машина увеличит скорость на 10км в час, а вторая уменьшит на 10км в час, то первая за 2 часа пройдет столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью едут автомашины?

Составление таблицы

Пусть х — первоначальная скорость машин, тогда (х + 10) — скорость первой машины, а (х — 10) — скорость второй машины.

Расстояние для первой машины 2(х + 10)

Расстояние для второй машины 3(х — 10)

Величины

Первичная скорость

Скорость по условию

Время

Расстояние

1 машина

х

+ 10

2

2 (х + 10)

2 машина

х

- 10

2

3 (х — 10)

Составление уравнения

Так как по условию задачи первая машина прошла за 2 часа столько же, сколько вторая за 3 часа, составим уравнение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

Решение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

2х + 20 = 3х — 30

2х — 3х = — 20–30

—х = — 50 Х = 50

Скорость первой машины 50+10=60км ч

Скорость второй машины 50–10=40км ч

Ответ: 1 машина — 60км ч

2 машина — 40км ч

Задача: Были куплены яблоки и груши на сумму 4200 тенге. Килограмм яблок стоит 300 тенге, а груш — 1200тенге. Сколько килограммов яблок было куплено?

Составление таблицы

Мы знаем, что 1 кг груш стоит 1200тг. Пусть х — количество купленных яблок, тогда количество купленных груш (х + 1).

Получаем, что 300х — сумма, уплаченная за яблоки, тогда 1200(х + 1) — сумма уплаченная за груши.

Величины

Цена, тг

Кол-во, кг

Стоимость, тг

Яблоки

300

х

300х

Груши

1 200

(х + 1)

1200(х + 1)

На 1 кг

Всего: 4200

Решение:

Теперь можно составить и решить уравнение:

300х + 1200(х + 1) = 4200

300х + 1200х + 1200 =4200

1500х = 3000

х = 3000: 1500

х = 2 Ответ: было куплено 2 килограмма яблок.

Выводы:

Итак, мы рассмотрели, что представляют собой линейные уравнения, их свойства и способы решения, заглянули в историю.

Научились решать линейные уравнения и задачи. Надеемся, что данный проект поможет учащимся в изучении темы «Линейные уравнения».

Литература:

  1. Т. А. Алдамуратова, Т. С. Байшоланов «Математика 6 класс» Алмата «Атамура» 2011.
  2. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович..«Справочные материалы» Математика М. «Просвещение», 1988
  3. К. П. Сикорский. «Факультативный курс» М. «Просвещение», 1969.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Посетите сайты наших проектов