Математическое моделирование импульсных преобразователей напряжения с нелинейной внешней характеристикой

На сегодняшний день накоплен достаточно большой практический опыт в области математического моделирования замкнутых систем с ШИМ, однако полностью универсальных подходов к моделированию различных по структуре преобразователей напряжения не существует, что требует создания новых математических моделей и алгоритмической базы для отдельно взятых топологий силовой части или их классов.

Рассмотрим математическую модель замкнутой системы управления с преобразователем напряжения первого рода с нелинейной внешней характеристикой. К преобразователям первого рода согласно [1] относятся непосредственный понижающий, мостовой, полумостовой преобразователи, преобразователь с выводом средней точки первичной обмотки трансформатора и д. р. Под нелинейной внешней характеристикой в данном случае понимается характеристика, обладающая как участком стабилизации напряжения, так и участком стабилизации тока. Такие преобразователи находят широкое применение в сварочных аппаратах инверторного типа и зарядных устройствах аккумуляторов [2].

Схема замещения преобразователя представлена на рис. 1. Здесь приняты следующие обозначения: E — напряжение источника питания; R — внутреннее сопротивление, характеризующее потери и преобразователе; L — индуктивность; C — емкость выходного конденсатора; R_н — сопротивление нагрузки; ИМ — импульсный модулятор; ₁, ₂ — коэффициенты передачи датчиков обратной связи выходного напряжения и тока дросселя соответственно; КУ — коммутирующее устройство контуров напряжения и тока; U_зu –напряжение задания; U_зi — задание на ток; ГРН — генератор развертывающих напряжений. При построении схемы замещения принимались во внимание допущения, представленные в [3].

Кусочно-гладкая модель системы автоматического управления на базе полупроводниковых преобразователей с широтно-импульсной модуляцией имеет вид

, (1)

где A_i — матрица постоянных коэффициентов на i-том участке гладкости, B_i — вектор вынуждающих воздействий на i-том участке; — вектор переменных состояния.

Рис. 1. Схема замещения замкнутой импульсной системы автоматического управления на основе понижающего преобразователя с нелинейной внешней характеристикой

На рис. 2 представлены временные диаграммы, поясняющие особенности работы преобразователя на тактовом интервале. На рисунке приняты следующие обозначения: U_вп и U_нп — верхний и нижний пределы петли гистерезиса соответственно; U_р — развертывающее напряжение; i_L — ток дросселя.

Рис. 2. К пояснению принципа действия силовой части преобразователя: а) t_kвп<t_kШИМ; б) t_kШИМ>t_kвп.

Как видно из рис. 2,а, на тактовом интервале в общем случае существует четыре информационные точки (моменты коммутации), когда схема меняет свою топологию: в момент t_kШИМ напряжение управления после регулятора (U_у) сравнивается с развертывающим напряжением (U_р); в момент t_kвп выходной сигнал датчика тока дросселя достигает значения верхнего предела гистерезиса (U_вп); в момент t_kнп выходной сигнал датчика тока дросселя достигает значения нижнего предела гистерезиса (U_нп); в момент t_k0 ток дросселя достигает нуля.

В зависимости от параметров системы возможны несколько режимов работы, каждый из которых связан с определенным порядком пересечения траекторией различных поверхностей сшивания участков гладкости в фазовом пространстве. На рис. 2 представлены два частных случая работы преобразователя.

1. Если t_kвп<t_kШИМ (достижение сигналом датчика тока верхнего порогового значения происходит раньше естественной коммутации ШИМ), на тактовом интервале происходит три коммутации (рис. 2, а):

• первая коммутация происходит в момент t_kвп. В данном случае преобразователь начинает работать в режиме обратной связи по току, т. е. на участке стабилизации тока. В этом случае коммутирующее устройства КУ на вход ШИМ-компаратора подает сигнал после регулятора α₂, что приводит к резкому изменению сигнала управления;

• вторая коммутация происходит в момент t_kнп. После пересечения током дросселя нижнего порога гистерезиса преобразователь переходит в режим стабилизации напряжения;

• третья коммутация происходит в момент t_k0. Здесь ток дросселя падает до нуля (режим прерывистых токов).

1. Если t_kвп>t_kШИМ (рис. 2, б) на тактовом интервале происходит всего одна коммутация в момент t_kШИМ. В данном случае преобразователь работает в режиме обратной связи по напряжению.

Таким образом, на тактовом интервале в общем случае существует пять участков гладкости (отмечены римскими цифрами на рис. 2, а). Решение дифференциального уравнения на каждом участке гладкости имеет вид

, (2)

где а — период ШИМ, z — относительное время на тактовом интервале, которое может быть представлено как .

Анализ выражения показывает, что для вычисления вектора переменных состояния необходимо знать вектор X₀ в начале участка и длительность самого участка. Переход от участка к участку осуществляется методом припасовывания, т. е. начальными условиями для каждого участка будет являться вектор переменных состояния в конце предыдущего участка.

Уравнения, определяющие моменты коммутации (разностные функции) могут быть представлены как

;

;

;

,

где U_вп и U_нп — верхний и нижний пороги гистерезиса соответственно; U_зu — задание на напряжение; U_рm — амплитуда развертывающего напряжения.

Поиск коэффициентов заполнения осуществляется путем решения нелинейных трансцендентных уравнений: , где z_kШИМ, z_kвп, z_kнп, z_k0 — моменты коммутации внутри такта в относительном времени (коэффициенты заполнения).

Полученная кусочно-гладкая математическая модель импульсного преобразователя, позволяет проводить бифуркационный анализ замкнутых импульсных систем с нелинейной внешней характеристикой.

Двухпараметрическая динамических карта режимов преобразователя представлена на рис. 3. На данной диаграмме приняты следующие обозначения: символом П_i,j обозначены параметрические области существования различных динамических режимов (индекс i — обозначает m-цикл, характерный для данной области, j — порядковый номер области на карте динамических режимов). Области П_1,1 и П_1,2 представляют собой область существования основного (m = 1) — проектного режима. Под проектным режимом понимается цикл периода один, когда частота колебаний выходного напряжения равна частоте ШИМ [4]. Работа преобразователя в данном режиме характеризуется высокими показателями качества преобразования энергии. Область, обозначенная П_∞ соответствует недетерминированным режимам функционирования преобразователя (m →∞).

Карта на рис. 3 позволяет сделать выводы о существовании областей параметров, в которых реализуются непроектные режимы с m>1, обусловленными динамическими нелинейностями системы. Особое внимание следует уделить областям при малых значениях сопротивления нагрузки (П_2,1, П_3,1, П_1,2). На рис. 4 (а, б) представлены временные диаграммы напряжения в областях П_3,1 и П_1,2. Как видно из рисунка, размах колебаний выходного напряжения в области П_3,1 (рис. 4,а) в 10 раз больше размаха колебаний в области П_1,2(рис. 4,б). Возникновение непроектных режимов при снижении сопротивления нагрузки до 50 Ом связано с достижением током нагрузки порогового значения, при котором начинается переход на участок стабилизации тока. При работе системы в области П_3,1 происходит постоянного переключение коммутирующего устройства КУ, что приводит к возникновению сложной динамики.

Рис.3 Двухпараметрическая карта режимов работы преобразователя при параметрах системы: E = 1040 В, L = 0,01 Гн, C =10 мкФ, R_н = 40 Ом, ₁ = 0,01, ₂ = 1, U_зu = 4 В, U_зi = 7 А, U_рm = 10 В, α₂ = 25.

При правильном выборе коэффициента усиления регулятора α₁ (α₁<1,5) система во всем диапазоне сопротивления нагрузки работает в проектном режиме (1-цикл) с малым коэффициентом пульсаций.

Рис. 4. Временные диаграммы выходного напряжения при α₁=10: а) в области П_3,1 при R_н=40 Ом; б) в области П_1,2 при R_н=Ом.

Заключение.

Предлагаемая математическая модель может использоваться при бифуркационном анализе замкнутых систем с ШИМ, обладающих нелинейной внешней характеристикой. Использование разработанной математической модели в инженерном проектировании позволит на стадии технического проекта учитывать нелинейные динамические свойства системы, что не всегда возможно с использованием средств имитационного моделирования типа OrCAD и MatLab Simulink. Научно-обоснованный выбор параметров системы управления с использованием данной модели позволит исключить работу преобразователя в опасных режимах в процессе эксплуатации.

Литература:

1. Кобзев, А. В. Модуляционные источники питания РЭА / А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко, Н. М. Музыченко. — Томск: Радио и связь, 1990. — 336 с.

2. Мелешин, В. И. Транзисторная преобразовательная техника / В. И. Мелешин. — М.: Техносфера, 2005. — 627 с.

3. Болотовский Ю. И. OrCAD 9.x, OrCAD 10.x. Практика моделирования / Ю. И. Болотовский, Г. И. Таназлы, М.: СОЛОН-Пресс, 2008–207 с.

4. Кобзев. А. В. Нелинейная динамика полупроводниковых преобразователей / А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко, А. И. Андриянов, С. Г. Михальченко. — Томск: ТУСУР, 2007. — 224 с.

5. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем: Фундаментальные основы и избранные проблемы / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов. — Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1999. — 368 с.