Библиографическое описание:

Оразов М. Теорема Карамата и её применение в аддитивных задачах [Текст] // Современные тенденции технических наук: материалы междунар. науч. конф. (г. Уфа, октябрь 2011 г.). — Уфа: Лето, 2011. — С. 68-70.

Пусть U u V две последовательности натуральных чисел, и их подсчитывающие функции. Введем обозначение

Доказывается, что при наличии достаточно хорошей оценки MU(x) асимптотическая плотность суммы последовательностей U u V определяется асимптотикой свертки.

Let the u and v are two sequences of natural numbers, where Nu (x) and Nv (x) are their calculating functions. Let us introduce the notation

It is proved that while presence of sufficient positive estimate Mu (x) the asymptotic density of the sum of sequences of u and v is defined by asymptotic compression


Теорема. (Карамата [2]). Пусть f(t) &#;неубывающая функция, определенная для всех t &#; 0, f(0) = 0, , причем интеграл сходится при s > 0. Тогда, если по крайней мере одна из функций f(t) или &#; правильно меняющаяся функция порядка &#; (в смысле Карамата), то при

.

Лемма 1. Пусть f(t) и g(t) &#; неубывающие правильно меняющиеся функции порядков соответственно &#; и &#;. Тогда при

Доказательство. Положим ; функция h(t) неубывающая, так как и .

Согласно теореме Карамата [2], при

,

откуда следует, что &#; правильно меняющаяся функция порядка &#;+&#;. Вторично применяя теорему Карамата [2], получаем

Пусть U и V две возрастающие последовательности натуральных чисел, и &#; их подсчитывающие функции. Введем обозначение

Теорема 1. Имеют место соотношения:

; (1)

, (2)

где .

Доказательство. Применим неравенство Романова-Эрдеша к множеству целых точек (u,&#;), где . Тогда

(3)

и (4)

Так как , то отсюда следует

.

Заменяя P ,R полученными для них выражениями, получаем формулы (1), (2).

Теорема 1. показывает, что при наличии достаточно хорошей оценки MU(x) асимптотическая плотность суммы последовательностей U и V определяется асимптотикой свертки

Большинство последовательностей, рассматриваемых в аддитивной теории чисел, обладает правильно меняющимися подсчитывающими функциями. В этой ситуации из теоремы 1. следует

Теорема.2. Если и &#; правильно меняющиеся функции порядков соответственно &#; и &#;, причем

, (5)

то при

. (6)

Доказательство. По лемме 1. в условиях теоремы 2.

. (7)

Из условия (5) вытекает

. (8)

Подставляя (7) и (8) в (1) и (2), получаем утверждение теоремы.

Таким образом, если , то справедливость асимптотической формулы (6) обеспечивается уже просто редкостью последовательности V. Арифметическая природа членов этой последовательности не играет никакой роли.

Литература:
  1. Шнирельман Л.Г. Об аддитивных свойствах чисел.&#; Изв. Донского политехнического института,1 ч, 1930, 3&#;28.

  2. Karamata J. Journal für die reine und angewandt the Mathem. 104 (1931), 27&#;40

  3. Барбан М.Б. Метод &#;большего решета&#; и его применения в теории чисел.&#; УМН, 21, 1(1966), 51&#;102

  4. Левин Б.В., Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел.&#; УМН 22, №3 (35), 1967, 119&#;128.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle