Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4
Авторы: Маринин Владимир Иванович, Князев Дмитрий Николаевич, Субботина Екатерина Александровна
Рубрика: 14. Общие вопросы технических наук
Опубликовано в
IV международная научная конференция «Технические науки в России и за рубежом» (Москва, январь 2015)
Дата публикации: 29.12.2014
Статья просмотрена: 417 раз
Библиографическое описание:
Маринин, В. И. Интерполяция сплайнами 7-го порядка с дефектом 4 / В. И. Маринин, Д. Н. Князев, Е. А. Субботина. — Текст : непосредственный // Технические науки в России и за рубежом : материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Москва, январь 2015 г.). — Москва : Буки-Веди, 2015. — С. 125-131. — URL: https://moluch.ru/conf/tech/archive/124/7027/ (дата обращения: 20.04.2024).
Пусть на плоскости OXY даны n опорных точек , , интерполирующая функция удовлетворяет следующей системе уравнений
(1)
Начальные условия для интегрирования имеют вид
При этом является описанием интерполирующей функции, ,, - соответственно описаниями первой, второй и третьей производных функции; - коэффициенты сплайна, которые необходимо определить. Решая систему (1), получаем окончательное описание функции и первых трех производных:
(2)
Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1).
Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а , — соответствующие значения в средней точке и на правом конце этого отрезка. Обозначим также ; , .
Рис. 1. Разбиение исходных точек на отрезки
Тогда для описанных условий система (2) для второй точки примет вид:
А для третьей точки вид:
Система (2) в матричной форме ,
где ; ;
; ; .
Решение системы имеет вид:
.
Получим
Выразим коэффициенты (i=1,2,3,4; j=1,2) через значения сплайна и его первых двух производных в граничных точках участков
При этом , .
(3)
(4)
В качестве минимизируемой целевой функции будем использовать суммарный квадрат третьей производной, т. е. формально задача оптимизации имеет вид:
где — количество элементарных отрезков интерполяции;
- значение целевой функции (оценка кручения) на элементарном интервале интерполяции, определяемое по формуле:
,
С учетом системы (2), получим:
(5)
Запишем выражение (5) в функциональной форме:
.
Для определения, возьмем частные производные от L по переменным и приравняем их к нулю:
Решая данную систему, получим:
Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4) получим коэффициенты сплайна на отрезках .
Результаты интерполяции исходных точек (образующая баллона наматывания) сплайнами 5 и 7 порядка представлены на рисунках 2 и 3. Из графиков видно, что сплайны 7-го порядка обеспечивают непрерывность третьей производной. Кроме того, сплайны 7-го порядка позволяют задавать значения как первых и вторых, так и третьих производных.
a) график функции |
б) график первой производной |
в) график второй производной |
г) график третьей производной |
Рис. 2. Графики для баллона, построенного сплайном 5-го порядка
а) график функции |
б) график первой производной |
в) график второй производной |
г) график третьей производной |
Рис. 3. Графики для баллона, построенного сплайном 7-го порядка
Литература:
1. Маринин В. И., Князев Д. Н. Интерполяция с использованием сплайнов пятого порядка. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спецвыпуск,– 2002.
2. Маринин В. И., Князев Д. Н. Использование сплайнов пятого порядка при построении образующих поверхностей вращения // Материалы Междунар. науч.-практ. конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Ч. 4. Новочеркасск, 2001.
Похожие статьи
Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...
интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных
Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на.
Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции
Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а...
Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...
интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных
Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а.
Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...
Производная — это скорость, это скорость изменения функции. В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения.
График этой функции плавная, непрерывная кривая линия. Определение производной функции.
О представлении функции многочленом, имеющим заданные...
двухточечный многочлен, формула, интеграл, заданная функция, коэффициент, производная, вид, значение функции, значение интеграла, численное интегрирование. Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...
О построении формул аппроксимации периодических функций...
Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.
Вместе с тем для многих традиционных задач построения полиномов высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка конечной длины, характерны...
Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...
2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.
Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...
Если заменить график функции y= f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и средних прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .
Решение задачи для нормы функционала погрешности...
...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка.
О квадратурных формулах, использующих значения производных... Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее...
Похожие статьи
Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...
интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных
Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на.
Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции
Рассмотрим интерполирующую функцию на отрезке (рис. 1). Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а...
Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...
интерполирующая функция, многомерная интерполяция, сеточная функция, сеточная вектор-функция, число переменных
Обозначим значения интерполирующей функции и первых трех ее производных на левом конце элементарного отрезка интерполяции, а.
Некоторые пути изучения понятия производной в школьном курсе...
Производная — это скорость, это скорость изменения функции. В учебнике производная функции в точке х определяется как предел разностного отношения.
График этой функции плавная, непрерывная кривая линия. Определение производной функции.
О представлении функции многочленом, имеющим заданные...
двухточечный многочлен, формула, интеграл, заданная функция, коэффициент, производная, вид, значение функции, значение интеграла, численное интегрирование. Оценки явных формул многомерной интерполяции в зависимости...
О построении формул аппроксимации периодических функций...
Рис. 2. Полученный график, аппроксимированной функции.
Вместе с тем для многих традиционных задач построения полиномов высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка конечной длины, характерны...
Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...
2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.
Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...
Если заменить график функции y= f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и средних прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .
Решение задачи для нормы функционала погрешности...
...высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка.
О квадратурных формулах, использующих значения производных... Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее...