Библиографическое описание:

Исаева В. Г., Князев Д. Н. Математическая модель композитного баллона, изготовленного непрерывной жгутовой намоткой [Текст] // Технические науки в России и за рубежом: материалы IV Междунар. науч. конф. (г. Москва, январь 2015 г.). — М.: Буки-Веди, 2015. — С. 118-122.

В работе представлена модель композитного баллона давления изготавливаемого непрерывной жгутовой намоткой в виде системы дифференциальных уравнений, удобная для численного анализа, позволяющая получить конструкцию, образованную равнонапряженными нитями, уложенными вдоль геодезических линий на поверхности оправки.

Ключевые слова: композитный баллон давления, жгутовая намотка, геодезическая траектория, оптимальное армирование.

 

Рассмотрим композитный баллон давления в виде цилиндрической оболочки с днищами, выполненный методом намотки. Примем, что нить на днище совпадает с геодезической линией на поверхности (положение, которое нить стремится принять на гладкой поверхности при натяжении).

Под проектированием баллона давления будем понимать определение формы образующей баллона и схемы армирования баллона нитями. При этом оптимальным проектом является такой, который позволяет получить композитную конструкцию, образованную равнонапряженными нитями.

Как правило, при проектировании баллона давления в качестве исходных используют следующие данные (рис. 1):

— радиус оболочки на экваторе ();

— радиус полюсного отверстия ().

Для геодезической намотки угол намотки на экваторе определяется по формуле:

                                                                                                                (1)

Рис. 1. — Профиль образующей днища:  — радиус оболочки на экваторе;  — максимальный радиус фланца;  — радиус полюсного отверстия

 

Принято [1, с.356; 2, с.54] искомую оптимальную форму образующей днища составлять из двух участков: участка от a до  и участка от  до . При этом на первом участке форма днища определяется уравнением

                                                                                              (2)

а на втором участке — уравнением

                                                                                    (3)

где  — угол намотки.

Уравнения (2) и (3) обеспечивают связь между углом намотки и формой образующей днища баллона для получения геодезической схемы армирования и равнонапряженности нитей в композитной конструкции.

Очевидным способом получения расчетной схемы на основе уравнений (2) и (3) является составление системы дифференциальных уравнений относительно и . Однако, возникает трудность с заданием начальных условий для интегрирования такой системы, поскольку в начальной точке — точке  — значение производной  равно бесконечности (рис. 1).

Получим систему дифференциальных уравнений используя натуральное уравнение плоской кривой [3, с.141]. Пусть  — плоская кривая, зависящая от натурального параметра . Тогда можно записать:

 

Условимся отсчитывать  в положительном направлении, связанном с данной кривой. Произвольной остается только начальная точка отсчета.

Обозначим через  угол, образованный единичным касательным вектором [3]

c положительным направлением оси .

Тогда справедливы следующие равенства:

                                                                                                    (4)

Найдем выражения для  и , входящих в (1) и (2), с учетом последних равенств:

Окончательно получим:

                                                                                                                       (5)

                                                                                                     (6)

Подставляя (4) и (5) в (1) и выражая , получим:

                                                                                                (7)

Объединяя уравнения (4) и (7), получим следующую систему дифференциальных уравнений для определения профиля днища и закона изменения угла намотки при :

                                                                                             (8)

В этой системе дифференциальных уравнений начальный угол  нельзя выбирать произвольно, так как  является функцией . Система (8) справедлива при .

Аналогичным образом может быть получена система дифференциальных уравнений при . Она имеет следующий вид:

                                                                                 (9)

Решения систем (8) и (9) должны удовлетворять условиям сопряжения участков.

Результаты расчета профилей днищ представлены на рисунке 2, на котором профиль (1) соответствует радиусу на экваторе — 150мм, радиусу полюсного отверстия — 20мм, радиусу фланца (b1) — 24,5; профиль (2) соответствует радиусу на экваторе — 130, радиусу полюсного отверстия — 30, радиусу фланца (b2) — 36,75; профиль (3) соответствует радиусу на экваторе — 100, радиусу полюсного отверстия — 40, радиусу фланца (b3) — 49.

Рис. 2. Профили днищ

 

На рисунках 3, 4 и 5 представлены соответствующие трехмерные модели оболочек и их схемы армирования.

Рис. 3. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (1)

Рис. 4. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (2)

Рис. 5. Трехмерная модель оправки и схема армирования для профиля (3)

 

Литература:

 

1.      Композиционные материалы: Справочник. — М.: Машиностроение, 1990.

2.      В. В. Васильев, И. Ф. Образцов, В. А. Бунаков — Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов методом намотки. — М., «Машиностроение», 1977.

3.      П. К. Рашевский — Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4-е, исправленное. — М.: Едиториал УРСС, 2003.

Основные термины (генерируются автоматически): дифференциальных уравнений, оправки и схема армирования, Трехмерная модель оправки, модель композитного баллона, баллона давления, модель оправки и схема, системы дифференциальных уравнений, радиусу полюсного отверстия —, непрерывной жгутовой намоткой, образованную равнонапряженными нитями, композитный баллон давления, радиусу фланца, армирования баллона нитями, композитного баллона давления, схемы армирования, проектированием баллона давления, баллона давления в качестве, Математическая модель, днища баллона, геодезической схемы армирования.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle