Библиографическое описание:

Григорян Л. А., Тимофеева Е. Ф. Моделирование процесса нефтедобычи численными методами // Молодой ученый. — 2015. — №16. — С. 1-5.

В статье рассматриваются различные численные методы решения задачи непоршневого вытеснения нефти водой. Произведен анализ результатов расчетов для двумерной фильтрации.

Ключевые слова: двухфазнаяфильтрация, модель Баклея — Леверетта, модифицированный попеременно-треугольный метод.

 

Для рационального освоения нефтяных месторождений большое значение имеют знание современных гидродинамических методов получения информации и научных основ установления оптимального режима эксплуатации скважин. Создано множество методов и алгоритмов изучения процесса фильтрации, т. е. процесса протекания жидкостей в среде [1]. Статья посвящена исследованию различных численных методов решения задачи фильтрации и разработке достаточно точных и эффективных вычислительных алгоритмов.

Постановка задачи и разностная схема. Рассмотрим классическую модель двухфазной фильтрации Баклея-Леверетта [1], которая наиболее точно описывает задачу нефтедобычи с помощью дифференциальных уравнений гидродинамики [2]:

,                                                 (1)

,                                    (2)

водонасыщенность;  давление;

относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; мощность пласта; пористость пласта; вязкость нефти и воды соответственно; проницаемость пласта;  функция Баклея―Леверетта

                                                       (3)

для  будем использовать полиномы второго порядка

,                                                         (4)

где  предельные значения водонасыщенности [2].

В области G с границей Г рассмотрим граничные условия. Если граница непроницаемая то  Если граница проницаемая, рассмотрим граничные условия 1 и 2 рода:

при совместном движении фаз , где  потоки нефти и воды, удовлетворяющие условиям:

 

При заданном отборе или давлении

Для суммарного потока, вытекающего через границу, граничное условие для насыщенности имеет вид

 где  водонасыщенность на границе области в данный момент времени.

- начальное условие.                                  (5)

Итак, для уравнений (1), (2) построена задача Коши (1)-(5).

Решение задачи (1)-(5) будем искать в прямоугольной области . В области построим равномерную пространственную сетку

неравномерную временную сетку

где величина временного шага, определяемая из условий устойчивости и пространственно-временную сетку .

Получим консервативную разностную схему интегро-интерполяционным методом [7,8,10].

                          (6)

где  — функция принимает значение 0, если узел сетки  расположен вне скважины, , в случае если узел расположен на скважине

,  (7)

где  — функция принимает значение 0, если узел сетки  расположен вне скважины, , в случае если узел расположен на нагнетательной скважине, то ,а в случае эксплуатационной скважины:

Символы определяются из условий [9]:

                                                  (8)

Коэффициенты уравнения (6) и (7) получим, используя интегро-интерполяционный метод:

                                      (9)

Численная реализация задачи. При численной реализации разностной задачи основной объем вычислительной работы приходится на решение системы (6). Если перейти к более подробным пространственным сеткам вычислительные затраты для нахождения давления растут и превышают 90 % для последовательных алгоритмов решения задачи. Применим усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, имеющий высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [3,5,6].

Представим систему (6) в стандартном виде:

                                                                               (10)

, ,                                                                                                 (11)

, ,  — граница прямоугольника ,  — равномерная сетка,  — множество граничных узлов сетки.

Коэффициентами уравнений (10) и (6) связаны равенством:

где

сетка ω — равномерная, покрывающая область G.

Сеточные функции в равенствах (6) и (10) задаются следующим образом

Рассмотрим смещенные сетки

Запишем сеточную задачу (11), в операторном виде [7]:

                                                                         (12)

 

Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [3,4,5]:

                                                                         (13)

где                                 (14)

  Оценки для постоянных Δ и δ, входящих в неравенства:

, .                                                                                  (15)

имеют следующий вид

, δ =1,                                              (16)

где                                                      (17)

,

 — решение краевой задачи:

,  — решение краевой задачи:

                                                          (18)

Выражение для функции , имеет вид

                                                             (19)

Поскольку , то  и при использовании чебышевского ускорения [8] для числа итераций справедлива оценка: , . Аналогично «стандартному» варианту МПТМ отсюда имеем оценку .

Заключение. Численные эксперименты показали заметное уменьшение числа итераций по сравнению со «стандартным» алгоритмом модифицированного попеременно-треугольного метода, за счет учета функции источников [3].

 

Литература:

 

1.         Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1988. — 166 с.

2.         Коновалов А. Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем // Дифференциальные уравнения. —2004.—Т. 40, № 7. — С. 953–963.

3.         Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода // Сибирский математический журнал. —2002. —Т. 43, № 3. — С. 552–572.

4.         Сухинов А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации // Вычислительные системы и алгоритмы. — 1984. — С.52–59.

5.         Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Адаптивный попеременно-треугольный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. —2012. —Т. 24, № 1. — С. 3–20.

6.         Сухинов А. И., Шишеня А. В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. —2012. —Т.24, № 11. — С. 10–22.

7.         Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. —656 с.

8.         Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. —592 с.

9.         Григорян Л. А. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости методом конечных элементов. Вестник. Северо-Кавказский федеральный университет. Ставрополь: СКФУ,-2013. -№ 2-С.13–16.

10.     Григорян Л. А. Математическое моделирование задачи разработки нефтяных месторождений. / Л. А. Григорян, Е. Ф. Тимофеева // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам ХVIII международной научно-практической конференции. Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. 218 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle