Библиографическое описание:

Быкова Ю. С., Снежкина О. В. Приложения теории погрешностей в геодезических работах // Молодой ученый. — 2015. — №15. — С. 87-91.

Любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. На примере теодолитной съёмки, проведенной студентами ПГУАС во время учебной геодезической практики и обработки полученных результатов, рассмотрим применение теории погрешностей в геодезических работах.

Изначально с помощью теодолита студенты измеряли внутренние углы в два приёма (при левом и правом круге теодолита). Затем с помощью среднего арифметического были получены окончательные значения углов (с помощью среднего арифметического получают наиболее надёжный результат из совокупности измерений одной и той же величины). Предположим, что было произведено n число равноточных измерений. Равноточными называются измерения, проведенные в одинаковых условиях, однотипными инструментами, одинаковое число раз, наблюдателями равной квалификации. Имеем:

Просуммировав эти равенства, получим:

L1 + L2 + L3….. + Ln — nX = Δ1 + Δ2 + Δ3 …. + Δn                                              (1)

Выразим

Х =

Допустим, что число измерений неограниченно велико ():

                                                                                                              (2)

Из формулы (2) следует, что предел среднего арифметического при неограниченном числе измерений стремится к истинному значению величины. Но количество измерений всегда ограничено и вместо равенства мы имеем неравенство Х, отличающееся от равенства на очень малую величину, имеющую своим пределом 0.

Введем понятие х — среднее арифметическое, тогда

х =                                                                                                                             (3)

На основании формулы (3) можно утверждать, что среднее арифметическое из одинаково точных измерений, является наиболее точным результатом при любом числе измерений, если n> 1.

Таблица 1

Определение горизонтальных углов

№ точек теодолитного хода

Значение угла при круге право

Значение угла при круге лево

Полученные углы, βu

I

II

III

IV

V

VI

VII

Сумма

 

 

Теоретическая сумма

 

 

 

Исходя из этих данных, погрешность измерений равна: . Эта величина является угловой невязкой полигона. Данная невязка сравнивается с допустимой невязкой, которая определяется по формуле: , где n–число углов полигона: (). Полученная невязка, разносится равномерно на все углы полигона, с обратным знаком. Невязка отрицательная, значит она вносится со знаком +. Для удобства (чтобы не было значений углов с секундами) по  было добавлено в первый и четвёртый значения углов.

Далее студенты с помощью рулетки измеряли длины сторон полигона (т. е. горизонтальные проложения). Измерения производились дважды: в прямом и обратном направлении. Затем с помощью среднего арифметического рассчитывались итоговые значения.

Таблица 2

Расчёт значений длин сторон полигона

Обозначение линии

Длина стороны в прямом направлении

Длина стороны в обратном направлении

Полученное горизонтальное проложение линии, di-k

I-II

74.70

74.10

74.40

II-III

62.00

62.00

62.00

III-IV

26.50

26.70

26.60

IV-V

49.90

50.50

50.20

V-VI

78.80

78.00

78.40

VI-VII

54.00

52.60

53.30

VII-I

64.10

64.50

64.30

 

На следующем этапе теодолитной съёмки студенты рассчитывали приращения координат с помощью горизонтальных проложений и дирекционных углов αi-k(, ). Сумма вычисленных приращений должна равняться 0.

В результате расчётов получились линейные невязки полигона по осям X и Y:

Абсолютная невязка полигона была определена по следующей формуле:

Для контроля правильности измерения полигона определим относительную невязку:

где - абсолютная невязка полигона,

Р — периметр полигона (сумма горизонтальных проложений).

Для сравнения относительной невязки с допустимой, ее значение удобно преобразовать в простую дробь, числителем которой является 1: (для этого числитель и знаменатель делим на ). Сравниваем полученную относительную невязку, с допустимой (допустимая относительная невязка задается исходя из рельефа местности). В нашем случае 1/N =1/2000 (принимается как для твердой поверхности со спокойным рельефом). Сравнивая относительные невязки 1/Nпол=1/8184<1/Nдоп=1/2000 можно сделать вывод, что полученная невязка допустима,а значит измерения проведены правильно.

Для того чтобы избавиться от полученных невязок в значения приращений координат вносятся поправки σx и σy(, ). Суммы поправок равны невязкам и вносятся с обратным знаком (таблица 3).

Таблица 3

Результаты расчетов приращения координат

Обозначение линии

Вычисленные приращения координат

Поправки в приращении координат

Исправленные приращения координат

 

±∆Xb

±∆Yb

±σx

±σy

±∆Xур

±∆Yур

I-II

9.99

-73.73

0.007

0.005

9.997

-73.725

II-III

-60.20

-14.82

0.006

0.004

-60.194

-14.816

III-IV

-15.21

21.82

0.003

0.002

-15.207

21.822

IV-V

-11.66

48.83

0.005

0.004

-11.655

48.834

V-VI

-1.28

78.38

0.008

0.006

-1.272

78.386

VI-VII

53.28

-1.29

0.005

0.004

53.285

-1.286

VII-I

25.04

-59.22

0.006

0.005

25.046

-59.215

 

∑+88.31

+149.03

 

 

∑+88.328

+149.042

 

∑-88.35

-149.06

 

 

∑-88.328

-149.042

 

fx =-0.04

fy =-0,03

 

 

 

 

 

После этого находим координаты всех точек теодолитного хода, прибавляя к исходной координате значения приращений координат с учетом их знака.



Так как полученные значения координат первой точки совпадают с исходными, то координаты точек полигона рассчитаны правильно.

Итак, при расчёте ведомости вычисления координат теодолитного хода использовались различные приёмы определения погрешностей измерений, оценки точности результатов измерений, уменьшения и устранения погрешностей измерений. Это нахождение вероятнейшего значения с помощью среднего арифметического, нахождение среднеквадратической погрешности, нахождение относительной погрешности, оценка точности функций измеренных величин. Таким образом, можно утверждать, что теория погрешностей имеет большое применение при осуществлении геодезических работ.

 

Литература:

 

1.      Быкова Ю. С., Гафарова Д. З., Снежкина О. В. Прикладная математика в задачах геодезии // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 12 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/12/42283

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle