Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Рашидов А. Ш. Об основном состоянии одной блочно-операторной матрицы // Молодой ученый. — 2015. — №13. — С. 3-7.

Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом квантовых частиц на целочисленной решетке. Их количество может быть неограниченным, как в случае моделей спин-бозонов [2,3] или ограниченным, как в случае урезанных моделей спин-бозонов [4,5]. Отметим, что такие системы обычно возникают в задачах физики твердого тела [6], квантовой теории поля [7], статистической физики [8], магнитогидродинамики [9] и квантовой механики [10].

Через  обозначим -мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю . Например, если  и

,

то

, .

Пусть  — одномерное комплексное пространство и  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через  прямую сумму пространств  и  т. е.

В гильбертовом пространстве  рассматривается следующая блочно-операторная матрица

где операторы , ,   определяются по формулам

, , ,

Здесь - фиксированное вещественное число,  и  — вещественнозначные непрерывные функции на , а  — «параметр взаимодействия». Кроме того,  есть неотрицательная функция, т. е.  для всех .

В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным. При этом сопряженный оператор к  и

, .

Оператор  называется оператором уничтожения, а  называется оператором рождения [7]. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц.

На протяжении всей работы под обозначениями  и  понимаются спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора, соответственно.

Пусть оператор  действует в  как

.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

.

где числа  и  определяются следующим образом

, .

Из последних фактов следует, что

.

Определим регулярную в  функцию

.

Функция  называется определителем Фредгольма, ассоциированным с оператором .

Установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Лемма 1. Число  является собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число  — есть собственное значение оператора  и пусть - соответствующая собственная вектор-функция. Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению или системе уравнений

                                                                             (1)

Так как  из второго уравнения системы (1) для  имеем

.                                                                                                 (2)

Подставляя выражение (2) для  в первое уравнение системы (1) заключаем, что система уравнений (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 вытекает, что

.

С целью исследования собственных значений оператора  предположим, что

и положим

.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1. При всех  оператор  имеет не менее одного и не более двух собственных значений. Более того, если , то оператор  имеет единственное простое собственное значение и оно лежит левее , а при  оператор  имеет по одному собственных значения, лежащих левее  и правее  соответственно.

Замечание 1. В теореме 1, собственное значение  оператора  которое существует при всех  обычно называется основным состоянием и в этом случае компоненты соответствующего собственного вектора-функции выглядят так:

.

Доказательство теоремы 1. Так как функция  является строго убывающей на полуосях  и , то отсюда и из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что существуют пределы (конечное или бесконечное)

, .

При этом по определению

, .

Очевидно, что функция  строго убывает от  до  на промежутке  и от  до  на промежутке . Следовательно, оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда когда  и имеет собственное значение  тогда и только тогда когда . Поэтому из соотношения

следует, что при всех значениях параметра  оператор  имеет хотя бы одно собственное значение, ниже . По определению числа  и равенства

следует, что

1)      если , то оператор  не имеет собственных значений, лежащих правее ;

2)      если , то оператор  имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее .

Нетрудно убедиться, что если число  является собственным значением оператора , то вектор-функция  с компонентами

удовлетворяет уравнению  и . Теорема 1 доказана.

Замечание 2. Из доказательства теоремы 1 видно, что если интеграл

расходится, то для любого  оператор  имеет одно собственное значение, лежащее правее .

Отметим, что теорема 1 играет важную роль при определении числа отрезков, а также их расположений, определяющих существенный спектр решетчатой модели светового излучения с неподвижным атомом и не более чем двумя фотонами. От этого часто зависит существование конечного и бесконечного числа собственных значений соответствующих модельных операторов.

 

Литература:

 

1.         C.Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.

2.         H.Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian. Comm. Math. Phys., 123 (1989), 277–304.

3.         M.Huebner, H.Spohn. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian. Ann. Inst. Henri Poincare, 62:3 (1995), 289–323.

4.         Ю. В. Жуков, Р. А. Минлос. Спектр и рассеяние в модели «спин-бозон» с не более чем тремя фотонами. Теор. и матем. физика, 103:1 (1995), 63–81.

5.         R. A. Minlos, H.Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations--Series 2, 177 (1996), 159–193.

6.         A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results. Advances in Sov. Math. 5 (1991), 139–194.

7.         К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

8.         V. A. Malishev, R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Mathematical Monographs. 143, AMS, Providence, RI, 1995.

9.         A. E. Lifschitz. Magnetohydrodynamic and spectral theory. Vol. 4 of Developments in Electromagnetic Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989.

10.     B.Thaller. The Dirac equation. Texts and Monographs in Physics. Springer, Berlin, 1992.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle