Библиографическое описание:

Павликов С. В. К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем с конечным запаздыванием // Молодой ученый. — 2015. — №12.1. — С. 52-57.

В работе предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для функционально-дифференциального уравнения на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для этого используется метод предельных уравнений.

Ключевые слова:оптимальная стабилизация, метод предельных уравнений, функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

 

В середине 20-го столетия получила большое развитие теория оптимальных процессов в управляемых динамических системах, которая охватывает широкий круг проблем прикладного характера. Среди этих проблем важное техническое значение имеет поставленная А. М. Летовым [1] проблема аналитического конструирования регуляторов, относящаяся к задачам синтеза оптимальных систем с обратной связью. Развивая идеи А. М. Летова, Н. Н. Красовский разработал теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [2]. Это — задача о построении регулирующих воздействий, которые обеспечивают устойчивое осуществление желаемого движения при наилучшем возможном качестве переходного процесса. Задача об оптимальной стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Методы исследования проблем оптимальной стабилизации переплетаются с классическими методами теории устойчивости Ляпунова. Подход Н. Н. Красовского с успехом применяется при решении оптимальных задач аналитического конструирования регуляторов для линейных систем. Однако при применении этой теории к нелинейным системам с целью получения синтезирующего управления в замкнутой форме возникают серьезные математические трудности, источником которых является отсутствие универсального способа построения функционала Ляпунова в каждом конкретном случае. Ведь, как известно, задача об оптимальной стабилизации движения управляемой системы на бесконечном интервале времени сводится к отысканию оптимального функционала Ляпунова и оптимальных управляющих воздействий, удовлетворяющих уравнению в частных производных типа Беллмана, которое необходимо решить с учетом дополнительного неравенства. В работе [3] предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова со знакопостоянной производной. В данной работе предлагается аналогичное решение для функционально-дифференциального уравнения.

Отметим, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.

1. Постановка задачи об оптимальной стабилизации.

Пусть  — линейное действительное пространство - векторов ,  с нормой ,  > 0 — действительное число,  — банахово пространство непрерывных функций  c нормой = sup, для  , если  есть непрерывная функция, тогда для  функция  определяется равенством , под  понимается правосторонняя производная.

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа:

(1.1)

Здесь , где  есть управляющее воздействие,  — некоторый класс допустимых управлений;  есть непрерывное отображение, удовлетворяющее в  условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (1.1) от начальных данных.

Пусть  есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения (1.1) принимают вид:

(1.2) .

Предполагаем, что правая часть системы (1.2) удовлетворяет предположениям 1.1–1.3 [4]. Тогда можно построить семейство предельных уравнений к (1.2):

(1.3) ,

где

Рассмотрим функционал:

(1.4)

Здесь  есть некоторый непрерывный неотрицательный функционал переменных , характеризующий качество переходного процесса. Выбор  в конкретной прикладной задаче осуществляется с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностях формы или способа решения задачи.

Введем обозначения:  есть движение, удовлетворяющее начальному условию  и порождаемое управляющим воздействием , где . Соответственно  порождается управляющим воздействием .

Определение 1.1. Задача оптимальной стабилизации заключается в нахождении управляющего воздействия , обеспечивающего асимптотическую устойчивость невозмущенного движения , и такого что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими задачу о стабилизации движения , для всех  выполняется неравенство:

при условиях .         

Замечание 1.1. Область  в определении 1.1 принята независимой от .

2. Теорема об оптимальной стабилизации на основе знакоопределенного функционала Ляпунова

Обозначим через  непрерывную, строго монотонно возрастающую функцию .

Пусть :  есть непрерывный знакоопределенный функционал Ляпунова: .

Определение 2.1. Пусть  есть некоторая последовательность. Для каждого  и  определим множество  следующим образом: точка , если существует подпоследовательность , такая, что: .

Введем следующее выражение:

(2.1)   

В силу того, что  зависит от , то  также зависит от . Выражение (2.1) совпадает и близко по смыслу с соответствующим выражением Беллмана в методе динамического программирования. Предположим, что  удовлетворяет вышеупомянутым предположениям 1.1, 1.3.

Теорема 2.1. Предположим, что в некоторой окрестности  для системы  можно найти непрерывный функционал  и управляющее воздействие, удовлетворяющие условиям:

1)      движение системы  из некоторой окрестности  равномерно ограничены областью ;

1.      2) ;

2)      имеет место тождество:

3)      существуют предельная пара  с множеством , такие, что для каждого значения  множество не содержит решений уравнения .

4)      для всех справедливо неравенство: ;

5)      для каждого движения , соответствующего управлению , , , имеет место свойство:

, .

Тогда управляющее воздействие  решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при  решение  асимптотически устойчиво равномерно по  с областью притяжения  и для каждого соответствующего движения , выполняется:

.

Доказательство. Согласно условию 3) теоремы:

.

Следовательно:

.

Из теоремы 3.1.2 [5], в силу условий 1), 2) и 4) теоремы, получаем, что решение  уравнения (1.1) асимптотически устойчиво равномерно по  с областью притяжения . Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при  имеем: , , . Из условия 4), кроме того, следует, что для каждого решения ,  выполняется:

.

Из условия 3) теоремы следует, что:

.

Интегрируем последнее тождество по  от  до , получаем:

.

Переходим к пределу при , получаем:

.

Пусть  есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение , , . В силу условия 5) теоремы следует неравенство:

.

Интегрируя последнее неравенство по  от  до  и переходя к пределу при  из условия 6) теоремы, получаем:

.

Теорема доказана.

Теорема 2.1 дополняет некоторые результаты работы [6].

Замечание 2.1. Из доказательства теоремы 2.1 видно, что важным условием является условие 6) теоремы, так как из первых пяти условий теоремы, вообще говоря, не следует, что ,  когда, , . В следующей теореме [6] показано, что условие 6) можно заменить на условие существования бесконечно малого высшего предела у функционала  и при этом видоизменить условие 1.

Теорема 2.2. Предположим, что в некоторой окрестности  для системы  можно найти непрерывный функционал  и управляющее воздействие, удовлетворяющие условиям:

1)      1) ;

2)      имеет место тождество:

3)      каждая предельная пара  такова, что множество не содержит решений уравнения , кроме нулевого;

4)      для всех справедливо неравенство: ;

Тогда управляющее воздействие  решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при  решение  равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения  и для каждого соответствующего движения , выполняется:

.

Доказательство. Согласно условию 2) теоремы:

.

Следовательно:

.

Из теоремы 3.1.3 [5], в силу условий 1) — 3) теоремы, получаем, что решение  уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения . Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при  имеем: , , .

Из условия 2) теоремы следует, что:

.

Интегрируем последнее тождество по  от  до , получаем:

.

Переходим к пределу при , учитывая, что функционал  допускает бесконечно малый высший предел, получаем:

.

Пусть  есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение , , . В силу условия 4) теоремы следует неравенство:

.

Интегрируя последнее неравенство по  от  до  и переходя к пределу при  из условия 1) теоремы, получаем:

.

Теорема доказана.

 

Литература:

 

1.      Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов//АиТ. –1960. — Т.21. –№ 4–6.; 1961. — Т. 22. — № 4.; 1962. — Т.23. — № 11.

2.      Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.:Малкин И. Г. «Теория устойчивости движения», Дополнение 4. –М.:Наука, 1966. — С. 475–515.

3.      Ким Е. Б. О моделировании нелинейной управляемой системы //Социально-экономические и технические системы. — 2006. — № 3(19) — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.

4.      Павликов С. В. О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка // Социально-экономические и технические системы. — 2006. — 1(17). — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.

5.      Павликов С. В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации. Набережные Челны. — Изд-во Института управления. — 2010. — 394 с.

6.      Павликов С. В., Савин И. А., Емельянов Д. В. К методу функционалов Ляпунова в задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. — 2013. — № 4. — С. 170–176.

Основные термины (генерируются автоматически): оптимальной стабилизации, оптимальной стабилизации управляемых, функционала Ляпунова, функционалов Ляпунова, управляющее воздействие, стабилизации управляемых движений, стабилизации управляемых систем, оптимальной стабилизации движения, теорию оптимальной стабилизации, проблем оптимальной стабилизации, Задача оптимальной стабилизации, функционала Ляпунова в каждом, основе функционалов Ляпунова, функционала Ляпунова и оптимальных, аналитического конструирования регуляторов, переходного процесса, знакоопределенного функционала Ляпунова, знакоопределенный функционал Ляпунова, теории устойчивости Ляпунова, непрерывный функционал.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle