Библиографическое описание:

Павликов С. В. К задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем с конечным запаздыванием // Молодой ученый. — 2015. — №12.1. — С. 52-57.

В работе предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для функционально-дифференциального уравнения на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для этого используется метод предельных уравнений.

Ключевые слова:оптимальная стабилизация, метод предельных уравнений, функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

 

В середине 20-го столетия получила большое развитие теория оптимальных процессов в управляемых динамических системах, которая охватывает широкий круг проблем прикладного характера. Среди этих проблем важное техническое значение имеет поставленная А. М. Летовым [1] проблема аналитического конструирования регуляторов, относящаяся к задачам синтеза оптимальных систем с обратной связью. Развивая идеи А. М. Летова, Н. Н. Красовский разработал теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [2]. Это — задача о построении регулирующих воздействий, которые обеспечивают устойчивое осуществление желаемого движения при наилучшем возможном качестве переходного процесса. Задача об оптимальной стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Методы исследования проблем оптимальной стабилизации переплетаются с классическими методами теории устойчивости Ляпунова. Подход Н. Н. Красовского с успехом применяется при решении оптимальных задач аналитического конструирования регуляторов для линейных систем. Однако при применении этой теории к нелинейным системам с целью получения синтезирующего управления в замкнутой форме возникают серьезные математические трудности, источником которых является отсутствие универсального способа построения функционала Ляпунова в каждом конкретном случае. Ведь, как известно, задача об оптимальной стабилизации движения управляемой системы на бесконечном интервале времени сводится к отысканию оптимального функционала Ляпунова и оптимальных управляющих воздействий, удовлетворяющих уравнению в частных производных типа Беллмана, которое необходимо решить с учетом дополнительного неравенства. В работе [3] предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова со знакопостоянной производной. В данной работе предлагается аналогичное решение для функционально-дифференциального уравнения.

Отметим, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.

1. Постановка задачи об оптимальной стабилизации.

Пусть  — линейное действительное пространство - векторов ,  с нормой ,  > 0 — действительное число,  — банахово пространство непрерывных функций  c нормой = sup, для  , если  есть непрерывная функция, тогда для  функция  определяется равенством , под  понимается правосторонняя производная.

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа:

(1.1)

Здесь , где  есть управляющее воздействие,  — некоторый класс допустимых управлений;  есть непрерывное отображение, удовлетворяющее в  условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (1.1) от начальных данных.

Пусть  есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения (1.1) принимают вид:

(1.2) .

Предполагаем, что правая часть системы (1.2) удовлетворяет предположениям 1.1–1.3 [4]. Тогда можно построить семейство предельных уравнений к (1.2):

(1.3) ,

где

Рассмотрим функционал:

(1.4)

Здесь  есть некоторый непрерывный неотрицательный функционал переменных , характеризующий качество переходного процесса. Выбор  в конкретной прикладной задаче осуществляется с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностях формы или способа решения задачи.

Введем обозначения:  есть движение, удовлетворяющее начальному условию  и порождаемое управляющим воздействием , где . Соответственно  порождается управляющим воздействием .

Определение 1.1. Задача оптимальной стабилизации заключается в нахождении управляющего воздействия , обеспечивающего асимптотическую устойчивость невозмущенного движения , и такого что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями , решающими задачу о стабилизации движения , для всех  выполняется неравенство:

при условиях .         

Замечание 1.1. Область  в определении 1.1 принята независимой от .

2. Теорема об оптимальной стабилизации на основе знакоопределенного функционала Ляпунова

Обозначим через  непрерывную, строго монотонно возрастающую функцию .

Пусть :  есть непрерывный знакоопределенный функционал Ляпунова: .

Определение 2.1. Пусть  есть некоторая последовательность. Для каждого  и  определим множество  следующим образом: точка , если существует подпоследовательность , такая, что: .

Введем следующее выражение:

(2.1)   

В силу того, что  зависит от , то  также зависит от . Выражение (2.1) совпадает и близко по смыслу с соответствующим выражением Беллмана в методе динамического программирования. Предположим, что  удовлетворяет вышеупомянутым предположениям 1.1, 1.3.

Теорема 2.1. Предположим, что в некоторой окрестности  для системы  можно найти непрерывный функционал  и управляющее воздействие, удовлетворяющие условиям:

1)      движение системы  из некоторой окрестности  равномерно ограничены областью ;

1.      2) ;

2)      имеет место тождество:

3)      существуют предельная пара  с множеством , такие, что для каждого значения  множество не содержит решений уравнения .

4)      для всех справедливо неравенство: ;

5)      для каждого движения , соответствующего управлению , , , имеет место свойство:

, .

Тогда управляющее воздействие  решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при  решение  асимптотически устойчиво равномерно по  с областью притяжения  и для каждого соответствующего движения , выполняется:

.

Доказательство. Согласно условию 3) теоремы:

.

Следовательно:

.

Из теоремы 3.1.2 [5], в силу условий 1), 2) и 4) теоремы, получаем, что решение  уравнения (1.1) асимптотически устойчиво равномерно по  с областью притяжения . Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при  имеем: , , . Из условия 4), кроме того, следует, что для каждого решения ,  выполняется:

.

Из условия 3) теоремы следует, что:

.

Интегрируем последнее тождество по  от  до , получаем:

.

Переходим к пределу при , получаем:

.

Пусть  есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение , , . В силу условия 5) теоремы следует неравенство:

.

Интегрируя последнее неравенство по  от  до  и переходя к пределу при  из условия 6) теоремы, получаем:

.

Теорема доказана.

Теорема 2.1 дополняет некоторые результаты работы [6].

Замечание 2.1. Из доказательства теоремы 2.1 видно, что важным условием является условие 6) теоремы, так как из первых пяти условий теоремы, вообще говоря, не следует, что ,  когда, , . В следующей теореме [6] показано, что условие 6) можно заменить на условие существования бесконечно малого высшего предела у функционала  и при этом видоизменить условие 1.

Теорема 2.2. Предположим, что в некоторой окрестности  для системы  можно найти непрерывный функционал  и управляющее воздействие, удовлетворяющие условиям:

1)      1) ;

2)      имеет место тождество:

3)      каждая предельная пара  такова, что множество не содержит решений уравнения , кроме нулевого;

4)      для всех справедливо неравенство: ;

Тогда управляющее воздействие  решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при  решение  равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения  и для каждого соответствующего движения , выполняется:

.

Доказательство. Согласно условию 2) теоремы:

.

Следовательно:

.

Из теоремы 3.1.3 [5], в силу условий 1) — 3) теоремы, получаем, что решение  уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения . Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при  имеем: , , .

Из условия 2) теоремы следует, что:

.

Интегрируем последнее тождество по  от  до , получаем:

.

Переходим к пределу при , учитывая, что функционал  допускает бесконечно малый высший предел, получаем:

.

Пусть  есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение , , . В силу условия 4) теоремы следует неравенство:

.

Интегрируя последнее неравенство по  от  до  и переходя к пределу при  из условия 1) теоремы, получаем:

.

Теорема доказана.

 

Литература:

 

1.      Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов//АиТ. –1960. — Т.21. –№ 4–6.; 1961. — Т. 22. — № 4.; 1962. — Т.23. — № 11.

2.      Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.:Малкин И. Г. «Теория устойчивости движения», Дополнение 4. –М.:Наука, 1966. — С. 475–515.

3.      Ким Е. Б. О моделировании нелинейной управляемой системы //Социально-экономические и технические системы. — 2006. — № 3(19) — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.

4.      Павликов С. В. О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка // Социально-экономические и технические системы. — 2006. — 1(17). — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.

5.      Павликов С. В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации. Набережные Челны. — Изд-во Института управления. — 2010. — 394 с.

6.      Павликов С. В., Савин И. А., Емельянов Д. В. К методу функционалов Ляпунова в задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. — 2013. — № 4. — С. 170–176.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle