Библиографическое описание:

Алимов Б. М., Едылбаев У. Метод построения двух точек в различных октантах // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 1073-1077.

В работе приведен метод построения двух точек в 8-ми октантах в пространственной системе координат и в плоскости — эпюры. Описана схема построения данных по численным значениям двух точек. Приведены графические примеры построения этих точек.

Ключевые слова:октант, точка, плоскость, горизонталь, фронталь, профиль, система, координата, ось, эпюра, проекция, ортогональ.

 

При проведении занятий по разделу «Точки в четвертях и октанта пространства» задается в качестве примера одна точка по проецированию точки в различных положениях квадранта плоскости проекции [1]. Нами предлагается для лучшего усвоения темы задавать в различных октантах по две точки, например,  и . Одну точку  задаём постоянной величиной координат, например, точку , которая располагается в пространстве над плоскостями , ,  системы, а другую точку  по переменной величине, которая находится во фронтальной или горизонтальной (профильной) плоскостях, т. е. в первом октанте задаются численные значения — ; во втором октанте —  и т. д. Здесь даем некоторое их пояснения, т. к. точка является абстрактной величиной, то не имеет размеров, поэтому показывается на чертеже в виде кружочки. Также объясняем, что точка может быть каким-нибудь геометрической фигурой (шар, цилиндр) или деталем узла механизма: подшипником, колесом, сателлитом, т. е. точка является каким-то условным понятием в начертательной геометрии.

При решении задачи, студентам показываем макет пространственной системы координат с 8-ю октантами (рисунок 1, а) и объясняем их суть: показываем точку  на первом октанте с белой отметкой, а другую точку  — с красной отметкой, в дальнейшем при переходе на второй октант располагаем точку  — по координатной оси с белым цветом, а точку  — красным цветом и т. д. вплоть до 8-го октанта. Затем показываем расположение точек  и  в эпюре (рисунок 1, б), здесь полы макета пространственной системы является подвижными, вращая переднюю полу горизонтальной плоскости  вокруг оси , горизонталь  опускаем вниз до вертикальной линии, которая совмещается с фронтальной плоскостью , при этом задняя часть горизонтальной плоскости  поднимается вверх до совпадении с фронтальной плоскостью . Также происходит изменения и с профильной плоскостью , передняя часть плоскости  при вращении вокруг оси  направо совпадает с фронтальной плоскостью , а задняя часть профильной плоскости  вращаясь налево совпадает с фронтальной плоскостью .

На рисунке 2 и 3 показаны примеры проецирования двух точек  и  в различных октантах пространственной системы координат и в эпюре, например:

1.                  По заданным численным значениям находим точку , которая находится в первом октанте (рисунок 2, а, б), здесь горизонтальная проекция  точки  расположена под осью , вертикальная проекция  — над осью , а профильная проекция  над осью . Точку  задаем другим численным значением . Здесь точка  принадлежит фронтальной  плоскости и расположен на верхней полуплоскости  так что вертикальная проекция  располагается над осью , а горизонтальная проекция  лежит на оси , поскольку проектирующий луч совпадает с плоскостью . Также, только на другой оси  лежит профильная проекция .

Рис. 1. Пространственная (а) и плоскостная (б) модель октантов.

 

Все точки  и  равномерно расположены во всех трех четвертях проекции эпюры. При совмещении плоскостей проекций надо иметь в виду, что ось  как бы распадается на две прямые, из которых одна остаётся на горизонтальной плоскости , а другая — на фронтальной плоскости . И между этими двумя осями  и  образуется разрывная или нулевая плоскость, где не приводится ортогональные проекции точки, а используется для вспомогательной части чертежа, т. е. проводятся дуговые линии. Поэтому в эпюре (рисунок 2, б) используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая плоскость используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

2.         Точка  находится во втором октанте (рисунок 2, в, г). Проектируя точку  на плоскости  и , получим её проекции: горизонтальную  — на задней полуплоскости , вертикальную  — на верхней полуплоскости , а профильная  — также на задней полуплоскости . Численные значения точки  заданы и по ним можно определить, что точка принадлежит горизонтальной  плоскости, тогда одна проекция точки  — горизонтальная  будет расположена над осью , а две другие проекции — фронтальная  и профильная  будет лежать на оси . При совмещении плоскости  с  задняя полуплоскость  плоскости  перемещается вверх, а задняя профильная полуплоскость перемещается влево  фронтали  и ось проекции расположатся выше оси  и на одном перпендикуляре к ней, т. е. все точки  и  располагаются в одной четверти эпюры, а остальные три четверти плоскостей не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

3.         Точки  и  находятся в третьем октанте и изображаются в эпюре по двум четвертям проекции (рисунок 2, д, е). Горизонтальная проекция  расположена над осью , а фронтальная  и профильная  под осью . Точка  также располагается по двум четвертям проекции, но фронтальная  и профильная  проекции расположены на оси , а горизонтальная  проекция над осью . Здесь проекционные точки  и  используются в двух четвертях плоскости, а остальные две четверти плоскости не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

4.         Точки  и  находятся в четвертом октанте пространственной системы и также в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости, только в нижней части эпюры (рисунок 2, ж, з). Горизонтальная  и фронтальная проекции расположены под осью , а профильная  проекция расположена под осью . Точка  здесь также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры в нижней части, при этом фронтальная  проекция точки расположена на оси ; профильная  проекция расположена на оси , а горизонтальная  проекция расположена под осью . Здесь также проекционные точки  и  используются в двух нижних четвертях плоскости эпюры, а остальные две верхние четверти не используются, коэффициент использования плоскостей эпюры, . 3

Рис. 2. Проецирование точек  и  в I-IV октантах

 

5.         На рисунке 3, и, к показана эпюра пятого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются в двух четвертях плоскости проекции, только с правой стороны. Фронтальная  и профильная  проекции точки  располагаются над осью , а горизонтальная  проекция под осью . Точка  принадлежит фронтальной  плоскости и проекции точки  также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры с правой стороны; горизонтальная  проекция лежит на оси , а фронтальная  и профильная  проекции точки расположены над осью . Здесь используются в двух четвертях с правой стороны эпюры, а остальные две четверти плоскости с левой стороны эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Рис. 3. Проецирование точек  и  в V-VIII октантах

 

6.         На рисунке 3, л, м приводится эпюра шестого октанта пространственной системы. Точки  и  в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости проекции, которые находятся в верхней части эпюры. Горизонтальная  и фронтальная  проекция располагается над осью . Проекции точки , также располагаются по двум четвертям и находятся в верхней части эпюры, фронтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  — на оси , а горизонтальная  проекция — над осью . Здесь используются в двух четвертях верхней части плоскости эпюры, а остальные две четверти в нижней части плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

7.         Точки  и  находятся в седьмом октанте и в эпюре (рисунок 3, н, о) располагаются по трем четвертям плоскости проекции. Горизонтальная  проекция точки расположена над осью ; фронтальная  — под осью , а профильная  проекции точки под осью . Проекция точки  располагаются в тех же проекциях: горизонтальная  проекция точки лежит на оси ; профильная  лежит на оси , а фронтальная  расположена под осью . В эпюре используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

8.         На рисунке 3, н, р приводится эпюра восьмого октанта пространственной системы. Все точки  и  в эпюре располагаются в одной четверти. Горизонтальная , фронтальная  и профильная  проекции точки расположены под осью . Проекции точки  лежит на оси проекции  и очевидно, что три её проекции ,  и  совпадают с точкой  на оси . Здесь все ортогональные точки  и  располагаются в одной четверти плоскости эпюры, а остальные три четверти плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .

Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:

1.         В эпюре видно, что используется три плоскости , а четвертая плоскость является вспомогательной, для проведения дуговой линии.

2.         Наглядно видно, что из восьми октантов эпюры плоскостей наиболее благоприятным октантом является первый октант, так как коэффициент использования плоскостей эпюры равно .

3.         Из двух пространственной и плоскостной модели координатных плоскостей для лучшего чтения чертежей приемлемым является плоскостная модель — эпюра.

4.         В эпюре имея две ортогональные точки, всегда можно построить по ним и третью.

 

Литература:

 

1.      Фролов С. А. Начертательная геометрия. // Учебник. — М.:, 1998. — С. 240.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle