Библиографическое описание:

Ядгаров У. Т. Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра с жидкостью, находящейся в упругой среде // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 369-371.

Рассмотрим собственные колебания в упругой среде, содержащей двухслойный цилиндрический слой в цилиндрической системе координат (r,z,θ). Обозначим через Vpi, Vsi, ri, μi, li (i =0,1,2,3) соответственно скорость продольной и поперечной волны, плотность и модуль упругости. Рассмотрим задачу о распространении свободных волн, возникающих в такой системе. Уравнения движения среды для продольных φi и поперечных ψi потенциалов представляется в виде:

                                                     (1)

В уравнениях (1) следует положить =0, если в затрубном пространстве находится жидкость. Соответствующие напряжения srr, tir и смещения u r, u z, определяются через потенциалы j, y равенствами

                                                                          (2)

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле:

Если жидкость заменена упругой средой, то на контакте двух сред ставятся следующие условия:

Решения уравнений (1), удовлетворяющих условию конечности среды на оси r=0 и условиям убывания на бесконечности, выражаются через модифицированные функции Бесселя.

На границе контакта слоев (r = r2) ставится условие скользящего контакта (непрерывны нормальные составляющие напряжений и смещений, отсутствуют касательные составляющие напряжений) и контакт между внешним слоем и окружающей средой жесткий (непрерывны нормальные и тангенциальные составляющие напряжений и смещений). Дисперсионное уравнение записывается в виде:

D(к, h)=0.                                                                                                                      (4)

Оно представимо в виде определителя, у которого элементы dij (), отличные от нуля, имеют следующий вид:

Остальные элементы также записываются в аналогичном виде. Здесь

в двухслойном цилиндре V определяет скорость обобщенной волны по двухслойному цилиндру. Фазовая скорость волны определятся величиной реальной части корня, то есть Vj = ReV; величины мнимой части корня связаны с затуханием c на единице расстояния зависимостью

.

Дисперсионное уравнение (4) решается методом Мюллера. Значение левой части на каждой итерации метода Мюллера определяется методом Гаусса с выделением главного элемента. Нами были составлены программы и проведены расчеты дисперсии и затухания волны Лэмба для моделей скважин, описываемых граничными условиями (3а) и (3b). Исходя из физической постановки задачи, будем считать, что поглощением обладают буровая жидкость, цемент, тампонажная смесь, поглощением же в материале колонны и в окружающей среде будем пренебрегать. Переход к системе с поглощением был сделан посредством введения комплексных параметров сред. Численные результаты получены при следующих значениях параметров:

Vp0 =1500 м/c; Vp0 =1500 м/c; Vp2 =1500 м/c;

Vp3 =5300 м/c; Vs1 =2900 м/c; Vs2 =2000 м/c;

Vs3 =2000 м/c; ρ0 =1 г/cм3; ρ1 =8 г/cм3;

Ρ2 =3 г/cм3; ρ4 =4 г/cм3; r1 =0,05 м; r2 =0,06 м; r3 =0,067 м.

Результаты расчетов представлены в табл. 1. Видно, что фазовая скорость слабо зависит от волнового числа.

Таблица 1

Изменение фазовой скорости V (м/c) в зависимости от волнового числа α/a.

α/a

1

2

3

4

5

1

1450,121

1450,024

1451,01

1456,28

1450,82

2

1456,3

1456,09

1456,013

1456,72

1455,3

3

1462,24

1462,50

1462,03

1462,4

1461,9

 

Из анализа значений фазовой скорости выявлено, что разница между скоростями осесимметричных и не осесимметричных волн первой моды мала для всех значений волнового числа, кроме близких к нулю (область очень длинных волн), а минимумы части первой моды для всех значений n совпадают, так что и в данном случае первая резонансная скорость может быть определена из решения соответствующей осесимметричной задачи. Так при γ>250 получено С=0,31 (3ρ/G). Как показали расчеты, наименьший вклад дает поглощение продольной волны (рис. 1).

Рис. 1. Зависимости фазовой скорости от волнового числа.

 

Из результатов выясняется, что сжимающие контактные напряжения имеют место в некоторой окрестности приложения каждой силы. С удалением от точки приложения силы по окружности напряжения для всех рассмотренных случаев меняют знак. Это является следствием предположения двухсторонних характеров связи между оболочкой и заполнителем.

 

Литература:

 

1.    Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. — Ташкент; Фан, 1992. — 250 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle