Библиографическое описание:

Идрисов Р. Г. Экстремальные свойства решений одной краевой задачи для системы уравнений смешанного типа // Молодой ученый. — 2009. — №9. — С. 7-13.

1. Постановка задачи

Начало исследованиям задачи Геллерстедта в своих трудах положил в 1937 году С. Геллерстедт [1]. Это было первым обобщением классического результата Ф. Трикоми [2]. Для уравнения

                                                      

 где  – натуральное нечетное число, в области  ограниченной простой кривой Жордана  лежащей в полуплоскости  с концами в точках  и  а при  – характеристиками  уравнения (0.1), где    и  он исследовал краевые задачи с данными на  (задача ) и с данными на  (задача ). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда  совпадает с "нормальной" кривой  Для более общего уравнения

                (0.2)

в [3] изучены аналоги задач  в классе обобщенных решений К.И.Бабенко, когда на эллиптической границе  задано третье граничное условие. При этом существенными оказываются условия малости коэффициентов уравнения вблизи  Относительно  предполагаются выполненными известные условия К.И.Бабенко [4]. В совместной работе К.Б.Сабитова, А.Н.Кучкаровой [5] для одного уравнения смешанного типа вида (0.2) установлены принципы максимума решения задач  и  из которых следует единственность решений без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области. Задача Геллерстедта для общих линейных систем уравнений смешанного типа рассматривалась лишь в работе [6]. В ней рассматривается система вида

                  (0.3)

 где , при  для всех  Методом "abc" при некоторых ограничениях на коэффициенты системы (0.3) и границу эллиптической части области доказана единственность решения  однородной задачи В работе К.Б.Сабитова [7] устанавливаются экстремальные свойства модуля решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа (0.3), когда  – числовые функции,  – квадратная матрица порядка  на основании которых следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области и при более слабых условиях на коэффициенты системы. На основании этих результатов в статье К.Б.Сабитова, Р.Г.Идрисова [8] установлен принцип максимума модуля решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа (0.3), где  – числовые функции, . В совместной работе К.Б.Сабитова, М.В.Мугафарова [9] устанавливаются экстремальные свойства решений задачи Трикоми, где под максимумом решения  согласно [10] понимаетcя число  В данной работе идея, предложенная в [9], [8], реализуется для доказательства экстремальных свойств решения задачи Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа.

Рассмотрим систему

                   (1)

1где  при   – заданные числовые функции,  – квадратная матрица,  в области  ограниченной простой кривой Жордана  лежащей в полуплоскости  с концами в точках  характеристиками  системы (1) при  где   и  Пусть  – параметрические уравнения кривой  – длина дуги кривой, отсчитываемой от  к   – длина кривой  Обозначим через  Будем предполагать, что

В областях  и  перейдем в характеристические координаты  

 Тогда система (1) примет вид

                         (2)

Область  отобразится в  ограниченную отрезками   и  а область  отобразится в  ограниченную отрезками  и  При этом за образами точек  оставлены те же обозначения прообразов.

Для системы (1) в области  рассмотрим задачу Геллерстедта (задачу ).

Задача . Найти функцию  удовлетворяющую условиям

                                                       (3)

                                     (4)

                                 (5)

                                                        (6)

                                                 (7)

                                               (8)

где   – заданные достаточно гладкие вектор-функции,

2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности

Лемма 1. Пусть 1) функция  и  в  при всех  2) коэффициенты системы (1) в области  ограничены и

                                 (9)

Тогда если   то этот максимум (минимум) достигается только на границе области

Доказательство. Пусть  Допустим, что  Тогда в точке  

                                              (10)

В силу условий (9) и (10) получаем

                           

Но, с другой стороны,  Полученное противоречие доказывает справедливость принципа максимума с условиями (9).

Лемма 2. Пусть 1) функция  и  в  при всех  2) коэффициенты системы (1) в области  ограничены и

                                  (11)

при этом функции  не равны постоянной в любой подобласти области  Тогда если   то этот максимум (минимум) достигается только на границе области

Доказательство. Введем вспомогательную функцию  где  которая в области  является решением системы

                                              

и  в   Значит, функция  в  является решением эллиптического уравнения

                                    (12)

                                    

В силу условия (11) правая часть уравнения (12) неотрицательна в области  В самом деле,

    

Пусть  Поскольку оператор  локально равномерно эллиптичен при  где  – достаточно малое число, и его коэффициенты в  ограничены, то в силу теоремы Хопфа [11]  что невозможно. Значит,

Лемма 3. Пусть 1) функция  в  при  2) в области  коэффициенты системы (1) ограничены и удовлетворяют условиям (11); 3)    Тогда

                                                                (13)

Доказательство. Пусть  Рассуждая аналогично доказательству леммы 2, введем новую функцию  При этом функция  является решением эллиптического уравнения (12), правая часть которого в силу условия (11) в области  неотрицательна. Тогда коэффициенты уравнения (12) и функция  удовлетворяют условиям леммы 1 [12]. Поэтому                                  Отсюда уже следует неравенство (13).

Лемма 4. Пусть 1) В области  коэффициенты системы (1) ограничены и

                                              (14)

2)  3)  4) функция  имеет изолированный положительный максимум  в точке  5) в малой окрестности точки  а) функция  суммируема; б) производные  и  непрерывны вплоть до границы; в)  Тогда в любой выколотой окрестности  точки  найдется точка  такая, что

                                                                (15)

Доказательство. Пусть  т.е.  Допустим, что существует выколотая окрестность  точки  такая, что для всех :  Введем вспомогательную функцию  где  которая в области  является решением системы                               

 и  в   Значит, функция  в  является решением эллиптического уравнения

                                    (16)

В силу условия (14) правая часть уравнения  неотрицательна в области  В самом деле,

 

Пусть  Число  возьмем настолько близким к числу  чтобы кривая  составленная из линии уровня  целиком лежала в  и для всех точек  принадлежащих области  ограниченной кривой  и отрезками   Поскольку  является в  решением эллиптического уравнения  то в силу теоремы о представлении решений эллиптических уравнений следует существование такой кривой  Причем, не теряя общности рассуждений, можно считать, что кривая  является спрямляемой. Обозначим через  и  точки пересечения кривой  с отрезком

В области  рассмотрим функцию причем  которая является решением эллиптического уравнения

                           (17)

и удовлетворяют граничным условиям

                                                            (18)

                                                       (19)

Интегрируя тождество

                  

по области  с учетом условий (17) и (18), получим

 

Из последнего равенства в силу наложенных на коэффициенты условий и неравенства (19), следует, что  в  т.е.  в  значит,  что противоречит условию изолированности максимума в точке  Следовательно, в любой окрестности  точки  существует точка  такая, что справедливо неравенство (15).

 

3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности

Рассмотрим систему (2) на множестве  Пусть

Функции  непрерывны в , кроме, быть может, отрезка  и удовлетворяют условию:

                                     (21)

Функции  непрерывны в , кроме, быть может, отрезка  и удовлетворяют условию:

                                   (22)

Определение 1. Регулярным в  решением системы (2) назовем функцию , удовлетворяющую условиям: 1)  2)  3) производная  непрерывны на

Лемма 5. Пусть: 1) коэффициенты системы (2) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условиям (21), (22); 2)  – регулярное в  решение системы (2), равное нулю на  Тогда если  (), то этот максимум (минимум) достигается только на отрезке  

Доказательство. В области  рассмотрим тождество

и проинтегрируем его по отрезку  прямой , принадлежащему  Тогда получим

      (23)

Пусть ,  Ясно, что  Пусть  Из точки  проведем отрезок  до пересечения с характеристикой  в точке  В равенстве (23) в качестве отрезка  возьмем  и положим  Тогда

                       

                 

Последнее противоречит тому, что в точке  максимума функции  производная  неотрицательна. Тогда  Аналогично, рассматривая область  доказывается, что

 

4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области

Рассмотрим систему (1) во всей смешанной области

Определение 2. Регулярным в области  решением системы (1) назовем функцию , удовлетворяющую условиям (3) – (5), и, кроме того, производные  непрерывны на множествах  соответственно.

Теорема. Пусть: 1) коэффициенты системы (1) в области  удовлетворяют условию 2) леммы 2; 2) выполнено условие 5) леммы 4; 3) коэффициенты системы (1) в областях  и  в характеристических координатах  удовлетворяют, соответственно, условиям (21) или (22); 4)  – регулярное в  решение системы (1), равное нулю на характеристиках  и 5)  Тогда этот максимум достигается только на кривой

Доказательство. Пусть  Так как выполнены условия леммы 5, то точка  В силу леммы 1 точка  Тогда,  Пусть  т.е.  В этой точке из леммы 5 следует, что  Последнее согласно лемме 3 противоречит неравенству  Если точка  то рассуждая аналогично, получим противоречие. Следовательно,  Пусть  тогда  В этом случае  является единственной точкой изолированного глобального положительного максимума функции  Линии уровня  функции  где  в малой окрестности точки  будут располагаться в области  в виде концентрических линий вокруг точки  с концами  Докажем это. Допустим противное, т.е. в малой окрестности точки  на оси  существуют точки  и  такие, что  и  Тогда возможна линия уровня  Функция  в некоторой точке  имеет положительный максимум . Пусть  – область, ограниченная отрезком  оси  и линией уровня  такая, что при всех  В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений .  Далее из точки  проведем характеристику системы (1) до пересечения с характеристикой  в точке  и рассмотрим область  ограниченную линиями  По лемме 5  достигается на отрезке  Не теряя общности рассуждений можно считать, что этот максимум достигается в точке  По лемме 3  а с другой стороны на основании леммы 5  Получено противоречие. Отсюда следует, что в малой окрестности точки  функция  при  монотонно возрастает к значению  Пусть  где  промежуток оси  где  возрастает при  Покажем, что  при всех  Пусть  – любая точка из  Из точки  опустим перпендикуляр с концом в точке  через точку  проведем характеристику системы (1) до пересечения с характеристикой  в точке  Обозначим через  область, ограниченную характеристиками  и отрезками  Аналогично лемме 5 можно показать, что  достигается только на отрезке  а именно в точке  Тогда в этой точке  Следовательно, в силу произвольности точки  на  Аналогично показывается, что существует отрезок  где  такой, что  при всех  Тогда  при всех  С другой стороны, в силу леммы 3 на  или на  найдется точка  такая, что  что противоречит неравенству  на  Следовательно, максимум не достигается в точке  и точка

Следствие. а) Если выполнено условие теоремы, то для всех  б) Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы и в классе регулярных в  решений системы (1) существует решение задачи  то оно единственно.

 

Литература

1.      Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation // Arkiv Mat., Astr. och Fysik. 3. 1938. B.26A. P.1-32.

2.      Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.Гостехиздат, 1947. 192 с.

3.      Салахитдинов М.С., Исломов Б. Краевые задачи типа задачи Геллерстедта для общего линейного уравнения смешанного типа.// Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. – 1986. – №2. – С.39-43.

4.      Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа. 1985. 304 с.

5.      Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа. /"Неклассические уравнения математической физики". Новосибирск. Изд-во ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева. 2002. С. 206-220.

6.      Овезова М.М. О единственности решения задачи Геллерстедта для общей системы уравнений Чаплыгина . // Докл. АН СССР. – 1996. – Т.348, – №1. – С. 25-26.

7.      Сабитов К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа. // Докл. АН СССР. – 1990. – Т.310, – №1. – С. 33-36.

8.      Сабитов К.Б., Идрисов Р.Г. Задача Геллерстедта для систем уравнений смешанного типа.// Изв. вузов. Математика. – 2001. – №11. – С.22-33.

9.      Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа. // Сиб. мат. журн. – 2002. – Т.43, – №3. – С.710-726.

10.  Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка. // Докл. АН СССР. – 1989. – Т.305, – №4. – С. 783-786.

11.  Hopf E.A. A remark on linear elliptic differetial equations of second order.//Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – V.3 – P. 791-793.

12.  Сабитов К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми// Дифференц. уравнения. – 1992. – Т.28,–  – C.2092 – 2101.

Основные термины: уравнений смешанного типа, коэффициенты системы, системы уравнений смешанного, задачи Геллерстедта, систем уравнений смешанного, решения задачи, решения задачи Геллерстедта, окрестности точки, малой окрестности точки, решением системы, решением эллиптического уравнения, Сабитов К.Б, Экстремальные свойства решений, краевой задачи, задачи Трикоми, решения задачи Трикоми, уравнения смешанного, единственности решения задачи, решений системы, модуля решения задачи

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle