Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Мухитдинов Р. Т. Уравнение Вайнберга для собственных функций модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 23-26.

Рассматривается модельный оператор , ассоциированный с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Получен аналог уравнения Вайнберга для собственных функций оператора .

Ключевые слова: модельный оператор, нелокальный потенциал, уравнение Вайнберга, собственное значение и собственная функция, существенный спектр.

 

1. Введение. Исследование дискретных спектров операторов Шредингера является наиболее интенсивно изучаемым объектом в теории операторов. Одним из важных вопросов в спектральном анализе таких операторов является изучение конечности числа собственных значений, лежащих вне существенного спектра. Хорошо известно, что при некоторых естественных предположениях оператор Шредингера A системы трех попарно взаимодействующих частиц в непрерывном пространстве имеет существенный спектр, совпадающий с полуосью , где . В работах [1] и [2] доказано, что при  и достаточно быстром убывании потенциалов взаимодействия в координатном представлении дискретный спектр оператора является конечным. Методика [1] основана на исследовании Фpедгольмовской системы уpавнений Фаддеева и Вайнбеpга, а в работе [2] применялись вариационные соображения.

Вопросу конечности дискретного спектра трехчастичного дискретного оператора Шредингера посвящены многие работы, например [3,4]. Отметим, что в работе [3] пользуясь уравнениями типа Фаддеева и Вайнберга, а также аналитическим продолжением определителя Фредгольма, доказана конечность дискретного спектра трехчастичного дискретного оператора Шредингера парными контактными взаимодействиями при отсутствии виртуальных уровней у операторов, описывающих двухчастичных подсистем.

В работе [5] рассматривается модельный оператор  действующий в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых симметричных функций, определенных на . Этот модель ассоциирован с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Там построен «симметризованный» вариант известного уравнения Вайнберга, с помощью которого доказывается конечность дискретного спектра оператора . Следует отметить, что этот метод используется даже в том случае, когда существенный спектр модельного оператора  имеет лакуну. Тем самым оно является удобным методом доказательства конечности дискpетного спектpа.

В данной работе рассматривается несимметризованный аналог оператора  изученный в работе [5] и строится соответствующие уравнение, представляющее собой аналог известного уравнения Вайнберга, для собственных функций. Здесь ядра нелокальных операторов взаимодействия имеют ранг 1 и роль двухчастичного дискретного оператора Шредингера играет модель Фридрихса. Напомним, что для периодического оператора нелокальные потенциалы представляют собой сумму локального потенциала и некоторого конечномерного оператора. Отметим, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. При этом получено очень мало результатов для таких гамильтонианов в том случае, когда ядро частично-интегрального оператора является невырожденным. В настоящее время представляет интерес получение точных результатов хотя бы для частных случаев, т. е. для нелокальных потенциалов с вырожденными ядрами. Так как двухчастичные и трехчастичные уравнения Шредингера легко разрешимы для нелокальных взаимодействий, их часто используют в ядерной физике и в многочастичных проблемах. Они также используются систематически вместе с уравнениями Фаддеева и Вайнберга для систем трех частиц.

2. Модельный оператор. Через  обозначим множества всех комплексных, вещественных, целых и натуральных чисел, соответственно. Пусть  и  — - мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю . Например, если

 ,

то

 .

Пусть  — гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , .

Рассмотрим модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве  по формуле

,

где операторы  определяются по правилам:

 

;

; .

Здесь , ,  вещественно-непрерывные функции на  и , соответственно. Видно, что нелокальные операторы взаимодействия  и  являются частичными интегральными операторами с вырожденными ядрами ранга 1.

Можно легко проверить, что в этих предположениях модельный оператор  является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Известно, что в импульсном представлении трехчастичный дискретный оператор Шредингера  действует в гильбертовом пространстве . После выделения полного квазиимпульса системы  оператор  разлагается в прямой операторный интеграл (см. например [3, 4])

 ,

где ограниченный самосопряженный оператор ,  действует в гильбертовом пространстве  (- некоторое многообразие). Отметим, что модельный оператор  обладает основными спектральными свойствами трехчастичного дискретного оператора Шредингера , см. например [6–8].

Учитывая выше сказанные факты оператора  можно рассматривать как модельный оператор, ассоциированный системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов.

3. Уравнение Вайнберга для собственных функций. Пусть  — множество комплексных чисел. Положим

, ,

.

При каждом фиксированным  определим регулярную в  функцию

.

Обозначим через  множество тех точек , для которых имеет место равенство  хотя бы для одной  и

.

Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра модельного оператора .

Теорема 1. Для существенного спектра  модельного оператора  справедливо равенство .

Определение. Множества  и  называются, соответственно, «двухчастичной» и «трехчастичной» ветвями существенного спектра модельного оператора .

При каждом  рассмотрим интегральный оператор  действующий в пространстве  с ядром

(- переменное интегрирование).

Верна следующая теорема.

Теорема 2. Если – cобственная функция, соответствующая собственному значению  оператора , то  удовлетворяет уравнению  обычно называемое уравнением Вайнберга.

Доказательство. Пусть  собственное значение оператора  и  — соответствующая собственная функция. Тогда  удовлетворяет уравнению

                (1)

Так как , то из уравнения (1) для  имеем

,                                                                     (2)

где

.                                                    (3)

Подставляя выражение (2) для  в равенств (3) и учитывая  получим

,                                                                                  (4)

.                                                                                   (5)

Теперь в равенстве (2) вместо  подставляя её выражение (4) и (5), затем пользуясь выражением (3) получим уравнение Вайнберга  Теорема 2 доказана.

Отметим, что из положительности оператора  вытекает, что оператор  не имеет собственных значений на . Далее, если при некоторых предположениях оператор  принадлежит классу Гильберта-Шмидта при  и операторнозначная функция  является непрерывным в равномерной операторной топологии в , то пользуясь теоремой 2 можно доказать [5] конечность дискретного спектра оператора , расположенного в .

 

Литература:

 

1.         Д. Р. Яфаев. О конечности дискpетного спектpа тpехчастичного опеpатоpа Шpедингеpа // Теор. мат. физ., — 1975, — Т. 25, — № 2, — С. 185–195.

2.         Г. М. Жислин. О конечности дискретного спектра операторов энергии квантовых систем многих частиц // ДАН СССР, — 1972, — Т. 207, — № 1, 25–28.

3.         Ж. И. Абдуллаев, С. Н. Лакаев. Конечность дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. мат. физ., — 1997, — Т. 111, — № 1, — С. 94–108.

4.         С. Н. Лакаев, М. Э. Муминов. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. мат. физ., — 2003, — Т. 135, — № 3, 478–503.

5.         Т. Х. Расулов, Р. Т. Мухитдинов. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. — 2014, — № 1, С. 61–70.

6.         S. Albeverio, S. N. Lakaev, R. Kh. Djumanova. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles // Rep. Math. Phys., — 2009, — V. 63, — no. 3, 359–380.

7.         S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on a lattices. Russ. J. Math. Phys., — 2007, — V. 14, — no. 4, — P. 377–387.

8.         Т. Х. Расулов. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теор. мат. физ., — 2010, -Т. 163, — № 1, 34–44.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle