Библиографическое описание:

Расулов Т. Х., Худаяров С. С. Числовой образ линейных операторов: основные свойства и примеры // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 33-36.

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Ключевые слова: числовой образ, выпуклые множества, матрица, линейный оператор, точечный и аппроксимативно точечный спектры, ядро спектра, оператор левого сдвига, неравенство Коши-Буняковского.

 

1. Введение. Пусть  комплексное гильбертово пространство и линейный оператор с областью определения . Множество

называется числовой образ оператора . Из определения видно, что множество  является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества  дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследование местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ линейного оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр произвольного линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–6].

Числовой образ матриц хорошо изучены во многих работах, см. например [7,8]. В частности, в работе [7] доказано, что числовой образ матрицы  есть эллипс. Отметим, что [7] в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числового образа есть выпуклая оболочка спектра.

Данная работа посвящена изучению основных свойств числового образа линейного оператора. Вычислен числовой образ нескольких линейных операторов разного характера.

2. Основные свойства. В этом пункте ради удобства для читателей сформулируем некоторых свойств числового образа линейного оператора.

Пусть  и  — множество натуральных, вещественных и комплексных чисел, соответственно. Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, точечный спектр и аппроксимативно точечный спектр линейного оператора. Всюду в работе под  и  понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

Свойства 1 (Теорема Тёплица-Хаусдорфа): Числовая образ линейного оператора есть выпуклая множества.

Свойства 2:  тогда и только тогда, когда  самосопряженный оператор.

Свойства 3: Пусть  самосопряженный оператор и  для некоторых . Тогда имеет место равенство .

Свойства 4: Пусть . Тогда .

Свойства 5: Имеет место включение.

Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора  как

Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра»  (см. [10]).

Следующее свойства устанавливает связь между  и :

Свойства 6: Имеет место соотношение.

Следующий пример показывает, что даже для ограниченного самосопряженного оператора  в гильбертовом пространстве  мы не сможем утверждать, что  или .

Пусть

.

Легко проверяется, что

Остановимся, на доказательство факта . Допустим противное. Пусть . Тогда существует такое, что  и . Имеем

Отсюда следует, что . Это противоречит факту . Значить . Следовательно, в этом случае имеем .

3. Примеры. В этом пункте рассмотрим некоторые примеры на вычисление числового образа линейного ограниченного оператора.

1. Пусть  комплексное гильбертово пространство, а  некоторое фиксированное комплексное число. Тогда для числового образа оператора ,  имеет место равенство

Действительно, если тогда , т. е.

2. Вычислить числовой образ оператора где  и  произвольные вещественные числа.

Возьмем произвольный элемент . Тогда  Если обозначить  тогда , где . Поэтому

Так как  то

3. Вычислить числовой образ оператора

Возьмем произвольный элемент  координаты которого удовлетворяют условию . Обозначим  Тогда  Теперь рассмотрим квадратную форму  для элементов

Здесь  Если обозначить тогда  и  Поэтому

Видно, что когда  пробегает от  до  квадратная форма  описывает окружность с центром в начале координат и с радиусом  Тогда объединение таких окружностей по  дает множество . Учитывая  получим, что множество  есть круг с центром в начале координат и с радиусом , т. е.

.

4. Числовой образ оператора  вычисляется как в примере 3 и верно  (вычислить самостоятельно).

5. Покажем, что для числового образа оператора левого сдвига

имеет место равенство

Очевидно, что для каждого  вектор  принадлежит в  и , т. е. каждое  является собственным значением оператора  и соответствующий собственный вектор равно . Тогда . Так как  имеем . Поэтому достаточно показать, что ни одна точка единичной окружности не лежит в . Допустим противное, т. е. пусть некоторое комплексное число с модулью 1 лежат в . Тогда существует элемент  такое, что  и Так как , согласно неравенству Коши-Буняковского имеет место соотношение . Отсюда вытекает, что  Легко можно проверить, что уравнению  удовлетворяет только . С другой стороны  поэтому . Это противоречие показывает, что .

6. Пусть отображение представляется в виде

Допустим, что - единичный вектор в  т. е.

Тогда

и

 

Таким образом

Последнее есть семейства окружностей, берем их объединение.

Перепишем последнее выражение в следующем виде

,

и дифференцируя по  получим

Из последних двух выражений получим

Это и есть эллипс.

 

Литература:

 

1.         O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z. — 1918, — V. 2, — no. 1–2, — pp. 187–197.

2.         F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z. — 1919, — V. 3, — no. 1, — pp. 314–316.

3.         A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z. — 1929, — V. 30, — no. 1, — pp. 228–281.

4.         H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl. — 2001, — V. 330, — no. 1–3, — pp. 89–112.

5.         C. Tretter, M. Wagenhofer. The block numerical range of an  block operator matrix // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2003, — V. 24, — no. 4, — pp. 1003–1017.

6.         L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory. — 2011, — V. 71, — pp. 245–257.

7.         K. Gustafson, D. K. M. Rao. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Berlin, Springer, 1997.

8.         D. S. Keeler, L. Rodman, I. M. Spitkovsky. The numerical range of  matrices // Linear Algebra and its Appl. — 1997, — V. 252, — no. 1–3, — pp. 115–139.

9.         М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М. Мир, 1982.

10.     М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ленинград, Изд. Ленинградского университета, 1980.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle