Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш. Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике // Молодой ученый. — 2015. — №7.2. — С. 1-3.

В данной работе с помощью изучения общих свойств когомологии простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли в положительной характеристике найдены нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. Пусть  – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем  характеристики  и  – ее алгебра Ли. Для доказательства основного результата будем пользоваться свойством отображения Фробениуса на  и теоремой Стейнберга о тензорном произведений. Отображение Фробениуса на  позволяет вычислить когомологию простых модулей группы  с помощью спектральной последовательности Линдона-Серра-Хохшильда. Предположим, что  определена над простым подполем  поля . Это означает, что существует алгебраическая -группа  такая, что . Тогда отображение  на  является эндоморфизмом -алгебр и индуцирует отображение .  является групповым эндоморфизмом и называется отображением (морфизмом) Фробениуса. Ядро  называется ядром Фробениуса. Ядро Фробениуса являются инфинитезимальной подгруппой группы .

Используя результаты работы [1], можно найти некоторые нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. По предложению 2.1 работы [1], стр. 407,

,                   (1)

где            (2)

Предложение 1. Пусть  – простая алгебра Ли простой односвязной алгебраической группы  над алгебраически замкнутым полем  характеристики . Предположим, что . Тогда , где  задается равенством (2).

Доказательство. Пусть , где  – ранг системы . Для алгебр Ли  и  Следовательно, в этом случае, вторые когомологий группы и алгебры Ли не совпадают. Если  имеет систему корней типа , то , что противоречить условию  В случае  и  

.

Далее, используя (1), получим .

Таким образом, среди классических алгебр Ли ранга , только в случае алгебры Ли типа  имеется совпадения второй группы когомологии с соответствующей второй группой когомологии алгебраической группы.

Пусть теперь, . Тогда условие предложения 2.1 работы [1], стр. 407, обеспечивает выполнения условий

1) , где ;

2);

3).

Поэтому, проверим только выполнение условия .Произведя соответствующие вычисления, получим

за исключением, когда  и . Согласно общей формуле Андерсена-Янцена [2], . Таким образом, согласно (1), получим . Предложение 1 доказано.

Для систем корней малых рангов легко можно описать все одинаковые нетривиальные вторые группы когомологий простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли.

1. В случае , используя результаты работы [3], относительно структуры , , легко показать, что полученный, в Предложении 1 случай, является единственным нетривиальным примером совпадения соответствующих вторых групп когомологий простых модулей группы  и алгебры Ли .

2. В случае  имеются ровно 2 совпадения. Первый – это пример Предложения 1, когда старший вес простого модуля равен , второй – . Здесь достаточно использовать результаты работы [4], стр.94 - 98.

3. Точность последовательности (6) и предложение 6 работы [5] показывают, что в случае  также имеются ровно два совпадения нетривиальных вторых групп когомологий. Старшие веса соответствующих простых модулей равны  и .

 

Литература:

 

1.      O’Halloran J. Weyl modules and cohomology of Chevalley groups // Amer. J. of Math. -1981. - Vol. 103, № 2. - P. 399-410.

2.      Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic groups // Math. Annalen. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.

3.      Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfascher gruppen und contravariante formen // J. reine angew. Math. - 1977. - V. 290. - P. 117-141.

4.      Jantzen J.C. Weyl modules for groups of Lie type in M. Collins ed., Finite simple groups. London, New York: Acad. Press, 1980. P. 291-300.

5.      Ибраев Ш.Ш. О когомологии простых модулей для ядра Фробениуса // «Бәсекеге қабілетті жеке тұлғаны қалыптастырудағы жаратылыстану-математикалық пәндерді оқытудың өзекті мәселелері» халықаралық ғылыми-практикалық конф. материалдары: ҚОББҚБАҚДИ (19-20 қараша 2010ж.). - Кызылорда.- 2011. - С. 363-368.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle