Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш. Нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике // Молодой ученый. — 2015. — №7.2. — С. 1-3.

В данной работе с помощью изучения общих свойств когомологии простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли в положительной характеристике найдены нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. Пусть  – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем  характеристики  и  – ее алгебра Ли. Для доказательства основного результата будем пользоваться свойством отображения Фробениуса на  и теоремой Стейнберга о тензорном произведений. Отображение Фробениуса на  позволяет вычислить когомологию простых модулей группы  с помощью спектральной последовательности Линдона-Серра-Хохшильда. Предположим, что  определена над простым подполем  поля . Это означает, что существует алгебраическая -группа  такая, что . Тогда отображение  на  является эндоморфизмом -алгебр и индуцирует отображение .  является групповым эндоморфизмом и называется отображением (морфизмом) Фробениуса. Ядро  называется ядром Фробениуса. Ядро Фробениуса являются инфинитезимальной подгруппой группы .

Используя результаты работы [1], можно найти некоторые нетривиальные примеры вторых групп когомологий простых модулей классических алгебр Ли в положительной характеристике. По предложению 2.1 работы [1], стр. 407,

,                   (1)

где            (2)

Предложение 1. Пусть  – простая алгебра Ли простой односвязной алгебраической группы  над алгебраически замкнутым полем  характеристики . Предположим, что . Тогда , где  задается равенством (2).

Доказательство. Пусть , где  – ранг системы . Для алгебр Ли  и  Следовательно, в этом случае, вторые когомологий группы и алгебры Ли не совпадают. Если  имеет систему корней типа , то , что противоречить условию  В случае  и  

.

Далее, используя (1), получим .

Таким образом, среди классических алгебр Ли ранга , только в случае алгебры Ли типа  имеется совпадения второй группы когомологии с соответствующей второй группой когомологии алгебраической группы.

Пусть теперь, . Тогда условие предложения 2.1 работы [1], стр. 407, обеспечивает выполнения условий

1) , где ;

2);

3).

Поэтому, проверим только выполнение условия .Произведя соответствующие вычисления, получим

за исключением, когда  и . Согласно общей формуле Андерсена-Янцена [2], . Таким образом, согласно (1), получим . Предложение 1 доказано.

Для систем корней малых рангов легко можно описать все одинаковые нетривиальные вторые группы когомологий простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли.

1. В случае , используя результаты работы [3], относительно структуры , , легко показать, что полученный, в Предложении 1 случай, является единственным нетривиальным примером совпадения соответствующих вторых групп когомологий простых модулей группы  и алгебры Ли .

2. В случае  имеются ровно 2 совпадения. Первый – это пример Предложения 1, когда старший вес простого модуля равен , второй – . Здесь достаточно использовать результаты работы [4], стр.94 - 98.

3. Точность последовательности (6) и предложение 6 работы [5] показывают, что в случае  также имеются ровно два совпадения нетривиальных вторых групп когомологий. Старшие веса соответствующих простых модулей равны  и .

 

Литература:

 

1.      O’Halloran J. Weyl modules and cohomology of Chevalley groups // Amer. J. of Math. -1981. - Vol. 103, № 2. - P. 399-410.

2.      Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic groups // Math. Annalen. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.

3.      Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfascher gruppen und contravariante formen // J. reine angew. Math. - 1977. - V. 290. - P. 117-141.

4.      Jantzen J.C. Weyl modules for groups of Lie type in M. Collins ed., Finite simple groups. London, New York: Acad. Press, 1980. P. 291-300.

5.      Ибраев Ш.Ш. О когомологии простых модулей для ядра Фробениуса // «Бәсекеге қабілетті жеке тұлғаны қалыптастырудағы жаратылыстану-математикалық пәндерді оқытудың өзекті мәселелері» халықаралық ғылыми-практикалық конф. материалдары: ҚОББҚБАҚДИ (19-20 қараша 2010ж.). - Кызылорда.- 2011. - С. 363-368.

Основные термины (генерируются автоматически): простых модулей, когомологий простых модулей, алгебр Ли, вторых групп когомологий, групп когомологий простых, простых модулей классических, классических алгебр Ли, модулей классических алгебр, когомологии простых модулей, примеры вторых групп, модулей простых односвязных, положительной характеристике, простых модулей группы, простых односвязных алгебраических, алгебры Ли, нетривиальные примеры вторых, группы когомологий простых, алгебраически замкнутым полем, односвязных алгебраических групп, алгебра Ли.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle