Библиографическое описание:

Гульманов Н. К. Показательно-геометрическая прогрессия и некоторые ее свойства // Молодой ученый. — 2015. — №7. — С. 1-3.

Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессией. Из определения арифметической и геометрической прогрессий, мы видим, что данные прогрессии основаны на арифметических действиях суммы (разности) и умножения (деления). Возникает вопрос: существует ли прогрессия, которая основана на действии возведение в степень число. Отвечая на этот вопрос, автором был определен новый вид прогрессии — показательная прогрессия.

Определение 1 [1]. Пусть дана последовательность положительных чисел

.                                                                                                   (1)

Последовательность (1), первый член которой отличен от единицы, называется показательной прогрессией, если ее каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, возведенному в положительную степень  ().

Таким образом,

,  (),                                                                                   (2)

где  и  соответственно n- и n+1-й члены прогрессии; r — знаменатель показателя прогрессии, которая вычисляется по формуле

.

Показательную прогрессию будем обозначать следующим образом:

 .

В данной статье был определен новый вид числовой прогрессии — показательно-геометрическая прогрессия. Доказаны некоторые свойства введенной прогрессии, как общая формула -го члена, формула нахождения знаменателя и знаменателя показателя прогрессии, характеристическое свойство, а также установлена связь с показательной прогрессией.

Прежде чем дать определение рассматриваемой прогрессии, хотелось бы поговорить о характеристическом свойстве показательной прогрессии. В [1] в качестве характеристического свойства взята следующая теорема.

Теорема. Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство

.                                                                                                                 (3)

Хотя соотношение (3) и выражает связь между соседними тремя членами показательной прогрессии, оно связано со знаменателем показателя прогрессии r. Однако если вспомнить, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, которые не зависят соответственно от разности и знаменателя, можно сказать, что существует соотношение, которое будет связывать подряд идущих три члена показательной прогрессии, не завися от знаменателя показателя. Покажем ее с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (характеристическое свойство показательной прогрессии). Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство

.                                                                                                 (4)

Доказательство. По определению показательной прогрессии

 и .

Отсюда следует, что

 или

т. е.

или

что и требовалось доказать.

Перейдем к основной части статьи.

Определение 2. Пусть дана последовательность положительных чисел

.                                                                                                  (5)

Последовательность (5), первый член которой отличен от единицы, называется показательно-геометрической прогрессией, если ее каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, возведенному в одну и ту же положительную степень  () и умноженному на одно то же положительное число  .

Таким образом,

,  (),  ,                                              (6)

где  и  соответственно n- и n+1-й члены прогрессии; q — знаменатель, r — знаменатель показателя прогрессии, которая вычисляется по формуле.

Показательную прогрессию будем обозначать следующим образом:

.

Пример 1. Следующая прогрессия является показательно-геометрической с , , :

4, 8, 32, 512, 131072,....

Из определения 2 следуют замечания.

Замечание 1. Если в показатеьльно-геометрической прогрессии , то можно получить геометрическую прогрессию.

Замечание 2. Если в показатеьльно-геометрической прогрессии , то можно получить показательную прогрессию.

Определим знаменатель показателя показательно-геометрической прогрессии. По (6) запишем n+1-ый и n+2-ой члены прогрессии

 и .

Разделим почленно данные равенства и прологарифмируем обе части получившегося равенства по основанию .

 или .

А от этого следует наше искомое равенство

.                                                                                                             (7)

Замечание 3. Если , то из (7) можно получить характеристическое свойство геометрическрй прогрессии, т. е.

 при .

Рассмотрим следующие равенства

 және .

Отсюда следует, что

По свойству логарифмов

                                                                                   (8)

Итак, знаменатель показательно-геометрической прогрессии q можно найти по формуле (8).

Замечание 4. Если q=1, то из (8) можно получит характеристическое свойство показательной прогрессии.

.

Формула (2) неудобна тем, что для вычисления п-го члена необходимо знать все предыдущие члены прогрессии. Выведем формулу общего члена показательно-геометрической прогрессии. По определению показательной прогрессии

Мы видим, что здесь есть закономерность: индекс каждого члена прогрессии больше показателя степени  на единицу, и больше степени многочлена — показателя q на две единицы. Поэтому мы можем предположить, что n+1-й член прогрессии вычисляется по формуле

или

.                                                                                                    (9)

Доказательство данной формулы можно провети методом математической индукции.

Теорема 2.1. Пусть  показательно-геометрическая прогрессия, тогда последовательность , n-член которой определяется следующим образом

,

будет показательной прогрессией.,

Для  ее характеристическое свосйтво будет следующее равенство:

.

Если выполнить следующие замены:

Тогда получим:

.                                                                                     (10)

(10) формулу можно принять за харктеристическое свосйтво показательно-геометрической прогрессии.

 

Литература:

 

1.         Н. К. Гульманов / Определение нового вида прогрессии, основанной на операции возведения в степень, и изучение ее основных свойств / Н. К. Гульманов, Н. А. Марчук // «Высокое качество и лидерство в образовании»: сборник докладов Международной научно-практической конференции (13–15 ноября 2013 года)/ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы». Часть 1. — Астана, 2013. — С. 120–124

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle