Библиографическое описание:

Романкова А. А., Титова Е. И. Противоречивые задачи в школьном курсе математики // Молодой ученый. — 2015. — №7. — С. 854-856.

Рассмотрим такую категорию задач в обучении математике, как нереальные (или противоречивые). Такие задачи обычно относят к отдельному типу и как правило редко встречаются в школьных учебниках.

Рассмотрим следующую задачу:

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза равна 10 см. Найти произведение синусов острых углов треугольника.

Предположим следующее решение: пусть катеты равны a и b, а гипотенуза с. Тогда по условию a + b = 16 (1), c=10.

Кроме того, т. к. треугольник прямоугольный, то a²+ b²= c².

sinA= a/c; sinB = b/c.

Нужно найти sinAsinB= ab/c², возведем (1) в квадрат:

a² + 2ab + b² = 256

100+2ab = 256; ab=78

sinAsinB= 0.78

Однако прямоугольного треугольника с a + b=16 и c=10 не существует, т. к. из решения ab=78, а a + b=16. Нет действительных чисел удовлетворяющих этой системе.

Задача противоречива: сложное высказывание, с помощью которого задана в этой задаче геометрическая фигура, ложно, а поэтому эта фигура не существует. Полученный ответ не имеет смысла.

Для таких задач характерным является то, что они могут иметь достаточно красивое решение, как это было с приведённой выше задачей, но только это решение будет противоречить здравому смыслу.

При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы. Вот почему решение задач данного вида необходимо использовать на уроках математики.

Примеры таких задач:

1.         Иван на два года моложе Петра, Петр четырьмя годами старше Степана, Андрей на три года старше, чем Петр, Иван равен по возрасту Степану. Кто старше — Андрей или Иван?

2.         Пароход весь путь от А до Б (по течению) и обратно (против течения) шел с максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была различной: от А до Б он шел со скоростью 20 км в час, а обратно со скоростью 30 км в час. Какова его средняя скорость за весь путь?

3.         Найти катеты прямоугольного треугольника, если известна его гипотенуза с = 6 см и площадь S = 10 кв.см. (не выполняется условие с² ³ 4S, по данным задачи 6² < 4* 10)

4.         Рабочий кружок, состоящий из 20 человек (взрослые и подростки), устроил сбор на покупку книг для библиотеки, причем каждый взрослый внес по 3 рубля, а каждый подросток по 1 рублю. Сколько было в кружке взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил 35 рублей?

Проанализируем эту задачу: пусть х- количество взрослых, 20 — х — количество подростков. Тогда 3х- сбор взрослых; 1(20-х)- сбор подростков.

3х + (20 — х) = 35

х = 7.5 — не удовлетворяет смыслу задачи, т. к. число должно быть целым.

Условие задачи противоречиво, т. к. если общее количество членов кружка равно 20, то число взрослых и число подростков либо оба четны, либо оба нечетны. Взносы их 3 и 1 — оба нечетны, значит общий сбор в любом случае должен быть четным, а он составляет 35 рублей.

8. Вписать в окружность трапецию, углы которой находятся в следующем отношении 3:2:4:3.

Рассмотрим методику работы с нереальными задачами на примере последней.

I.          Осмысление условия.

В: Что нам дано?

О: Окружность и какая-то трапеция.

В: Что нам известно о этой трапеции?

О: Ее углы находятся в соотношении 3:2:4:3.

В: Можем ли мы сделать какие-нибудь выводы из соотношения углов трапеции?

О: Да.

В: Что можно сказать о трапеции?

О: Она равнобедренная.

В: Что является решением задачи?

О: Вписанная в окружность трапеция.

Запишем условие:

Описание: 33

Дано: (О,г), ABCD- трапеция,

3:2:4:3 — отношение углов трапеции.

Вписать трапецию в окружность.

II. Поиск пути решения.

В: Что можем найти?

О: Углы трапеции.

В: Откуда мы их найдем?

О: Из соотношения 3:2:4:3.

В: Что удобнее обозначить за х?

О: один из углов, т. к. она равнобедренная, то лучше два равных угла обозначить за х?

В: Чему равны другие углы?

О: х, 2/3х, 4/3х, х.

В: Какое уравнение можно составить?

О: Зная сумму углов четырехугольника будет:

х + 2/3х + 4/3х + х = 360º

II.       Реализация плана решения.

Составим уравнение: х + 2/3х + 4/3х + х = 360º

Находим х= 90º, Ð1=Ð4=90º

Ð2= 60º, Ð3= 120º

Построим эту трапецию.

В: Попробуйте вписать ее в окружность?

О: Не получается.

В: Любую ли трапецию можно вписать в окружность?

О: Нет.

В: Какому условию должна удовлетворять трапеция, чтобы ее можно было вписать в окружность?

О: Сумма пар противоположных углов равна 180º.

В: Выполняется ли это условие в нашей задаче?

О: Нет, 90º + 120º ¹ 180° и 60°+ 90°¹180°.

В: Можем ли мы решить эту задачу?

О: Нет.

В: В чем заключается противоречие условия?

О: Отношение углов не соответствует требованию задачи.

Итак, мы выяснили, что данный тип задач несёт в себе определённую развивающую функцию. Они требуют умения анализировать условие и строить выводы о целесообразности решения самой задачи. Заставляют делать проверку решения, сталкиваясь с противоречивой ситуацией, более внимательно изучать данные задачи. Поэтому они так важны в обучении для успешного формирования у школьников умений анализировать и правильно решать поставленные математические задачи, а в дальнейшем и задач иного вида деятельности.

 

Литература:

 

1.         Акимова И. В., Буркина В. А., Титова Е. И. Моделирование задач с аномальным условием и методика пути поиска их решения// Современные проблемы науки и образования. 2014. № 1

2.         Буркина В. А., Титова Е. И. Методика работы с аномальными задачами// Молодой ученый. 2014. № 2 (61). С. 740–741.

3.         Жидкова А. Е., Титова Е. И. Изучение школьной математики как пропедевтический курс ее обучения в техническом вузе// Современные проблемы науки и образования. 2013. № 6. С. 283.

4.         Титова Е. И., Чапрасова А. В. Различные трактовки понятия «задача» и методика их решения// Молодой ученый. 2014. № 6 (65). С. 760–762.

5.         Титова Е. И., Романкова А. А. Неопределенные задачи в школьном курсе математики// Вестник магистратуры. 2014. № 6–1 (33). С. 128–129.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle