Библиографическое описание:

Харченко С. А. К исследованию осесимметричных колебаний кольцевого зернового слоя при движении по структурному цилиндрическому решету // Молодой ученый. — 2015. — №7. — С. 1091-1096.

В статье приведены исследования осесимметричных колебаний кольцевого зернового слоя при движении по структурному цилиндрическому решету зерновых сепараторов, получены математические выражения.

 

Постановка проблемы. Математическое моделирование динамики движущихся зерновых смесей (ЗС) по плоским и цилиндрическим виброрешетам [1], как аналогия с жидкостью — псевдоожижение, показало свою адекватность.

В результате проведенных исследований разработана модель динамики пузырьковой псевдоожиженной ЗС по плоским структурным виброрешетам, которая показала свою эффективность [2–4]. Последующий анализ способов и выбор эффективного направления моделирования динамики пузырьковых псевдоожиженных зерновых смесей на цилиндрических виброрешетах с учетом структурности решет и свойств смеси позволит значительно расширить область применения предварительно полученных математических моделей.

Цель работы: исследования осесимметричных колебаний кольцевого зернового слоя при движении по структурному цилиндрическому решету зерновых сепараторов.

Основной материал. В результате исследований [5] получена начально-краевая задача, которая позволяет моделировать процесс просеваемости кольцевого зернового слоя в цилиндрических зерновых сепараторах.

Принимаем  — цилиндрическою систему координат связанная с решетом. Поверхность решета представляет собой двумерно-периодическую структуру с периодом  вдоль аксиальной координаты z и периодом  вдоль азимутальной координаты . Периодическая структура (решето) получается трансляцией базовой ячейки вдоль оси z и вдоль образующей цилиндрического решета, соответственно, на  и , где  — целые числа. Принимаем - радиус цилиндрической поверхности решета, а - толщина кольцевого слоя зерновой смеси.

В [6] получены упрощенные уравнения динамики пузырькового псевдоожиженого зернового слоя

,                                        (1)

,                                                               (2)

,                                                             (3)

.                                                                                                            (4)

Построение решения уравнений (1) — (4) будем осуществлять с помощью преобразования Лапласа по временной переменной . Пусть , ,  и  — преобразования Лапласа , , и :

, , , .                        (5)

Применим к уравнениям (1) — (4) преобразования Лапласа и используя обозначения (5) получим:

,                                             (6)

,                                                                       (7)

,                                                                  (8)

.                                                                                                            (9)

Из уравнения (9) имеем: ,                                                                              (10)

где  — величина зависящая только от параметра  преобразования Лапласа.

Подставим (10) в уравнения (6) и (7). Тогда получим

,                                                                                                 (11)

.                                                                        (12)

Общее решение уравнения (12) имеет вид:

,                                                                               (13)

где ,  — модифицированные бесселевые функции первого и второго рода [7],  — величины независящие от переменной .

Для определения величин  подставим (13) в краевые условия:  и , , где  и  — тангенциальные к поверхности решета компоненты абсолютной скорости .

Тогда после ряда преобразований будем иметь:

,                                                                                                    (14)

,                                                                                           (15)

где , , , .

Определяя из (14), (15)  и подставляя их в (13) получаем следующее выражение для :

,                                                                       (16)

где , .                                              (17)

Далее из уравнения (11) с учетом (16), (17) имеем:

, (18)

где , , - некоторая константа.

Для определения  достаточно подставить (18) в краевое условие , из которого получаем: .

Рассмотрим теперь уравнение (8). Общее решение этого уравнения является суммой частного решения и общего решения однородного уравнения (в (8) правая часть равна нулю). Общее решение однородного уравнения можно представить с помощью модифицированных бесселевых функций в следующем виде:

,                                                                                         (19)

где  — величины зависящие от переменной r, .

Частное решение уравнения (8) построим с помощью метода вариации постоянных [7]. В соответствии с этим методом частное решение ищем в виде:

.                                                                                (20)

Здесь  — некоторые неизвестные функции.

Для нахождения этих функций имеем следующую систему уравнений:

,,                                               (21)

где , а точка обозначает операцию дифференцирование по аргументу.

Из (21), после ряда преобразований получаем:

, .                                                             (22)

Для вычисления интегралов в (22) используем следующие рекуррентные формулы [7]:

, .

Тогда будем иметь:

,                                                               (23)

.

С помощью (23), окончательно получим следующее выражение для общего решения уравнения (8):

   (24)

Для определения величин  и  воспользуемся краевыми условиями на свободной поверхности зернового слоя и внутренней поверхности виброрешета.

Из  получаем: .                                                   (25)

Подставим (25) в (24). Тогда из краевого условия на внутренней поверхности виброрешета имеем:

.                                                                         (26)

Здесь введены обозначения:

, , , .                             (27)

Учитывая (25) и (26), окончательно получаем

.                                                                (28)

Таким образом, решение уравнений (6) — (9) имеет следующий вид

, ,

,                                      (29)

,

где  — амплитуда и круговая частота осевых колебаний решета,  — угловая скорость вращения решета вокруг оси ,  — кинематический коэффициент вязкости псевдожидкости c пузырьками, величины  определяются по формулам (27), и величины  — по формуле (17).

Выводы. Таким образом, получены упрощенные уравнения динамики псевдоожиженой зерновой смеси по цилиндрическому структурному решету зерновых сепараторов.

 

Литература:

 

1.         Тищенко Л. Н., Мазоренко Д. И., Пивень М. В., Харченко С. А., Бредихин В. В., Мандрыка А. В. Моделирование процессов зерновых сепараторов. — Харьков: «Місьдрук», 2010. — 360 с.

2.         Харченко С. А. К построению уравнений динамики стационарных потоков в псевдоожиженном зерновом слое на структурных виброрешетах / Харченко С. А. // Вісник ХНТУСГ: Механізація сільськогосподарського виробництва. — Харків:ХНТУСГ, 2014. — С.181–186.

3.         Харченко С. А. Построение решений уравнений динамики зерновых смесей на плоских виброрешетах / Харченко С. А. // Конструювання, виробництво та експлуатація с. г. машин, вип.43, ч.ІІ.- Кіровоград: КНТУ, 2013. — С.287–292.

4.         Харченко С. А. К построению трехмерной гидродинамической модели динамики пузырьковой псевдоожиженой зерновой смеси по структурному виброрешету / С. А. Харченко // Праці ТДАТУ. — Мелітополь, 2014. — Вип.14. Т.2. — С.80–85.

5.         Харченко С. А. К разработке гидродинамической модели движения зерновой смеси по цилиндрическому решету виброцентробежных сепараторов // Вісник ХНТУСГ «Технічний сервіс машин для рослинництва». — Харків, 2015. — Вип. 159. — С.60–69.

6.         Харченко С. А. Осесимметричные колебания кольцевого зернового слоя при движении по структурному решету // Вісник ХНТУСГ «Ресурсозберігаючі технології, матеріали та обладнання у ремонтному виробництві». — Харків, 2015. — Вип. № 158. — С.72–80.

7.         Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1970. — 720с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle