Библиографическое описание:

Гудкова В. С., Ячинова С. Н. Пути повышения качества обучения математике студентов экономических специальностей // Молодой ученый. — 2015. — №6. — С. 584-588.

В процессе преподавания курса математического анализа студентам экономических специальностей часто приходится сталкиваться с непониманием необходимости изучения многих разделов. Преодолеть такого рода проблемы помогает демонстрация приложений изучаемого раздела. При изучении производной функции одной переменной это можно осуществить, рассматривая примеры приложения производной в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Студентам можно показать, что один из основных законов теории производства звучит следующим образом: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. То есть уровень выпуска x0 является оптимальным для производителя, если MS(x0)=MD(x0), где MS — предельные издержки, а MD — предельный доход.

За C(x) обозначим функцию прибыли, тогда C(x)=D(x)-S(x). Следовательно, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска x0, при котором функция C(x) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но C¢(x)=D¢(x)-S¢(x), поэтому D¢(x0)=S¢(x0), т. е. MD(x0)=MS(x0).

Другое важное понятие теории производства — это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки AS(x) определяются как , т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AS(x), т. е. при условии:

, откуда или, т. е. MS(x)=AS(x).

Свою интерпретацию в экономической теории находит понятие выпуклости функции. Один из наиболее знаменитых экономических законов — закон убывающей доходности — звучит следующим образом: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т. д.), с некоторого момента убывает.

Иначе, величина , где Dx — приращение ресурса, а Dy — приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y=f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности U=U(x), где x — товар, U — полезность. Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые: предельные издержки, предельный доход, предельная склонность к потреблению и т. д. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.

Пусть q — количество произведенной продукции, C(q) — соответствующие данному выпуску издержки. Предельные издержки обозначаются MC и определяются как дополнительные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции.

Другими словами,

, где Dq=1.

Используя равенство, получим

.

Таким образом, данное выше определение MC, по существу, не противоречит другому распространенному определению, согласно которому .

Рассмотриваем пример. Пусть C(q)=1500q-2q2+0,002q3. Тогда дополнительные издержки, связанные с увеличением выпуска от q до q+1, составят DC=C(q+1)-C(q), что приближенно равно

C¢(q)=1500–4q+0,006q2.

В таблице 1 даны значения DC и C¢(q) в точках q=100, 200,…, 1000.

Таблица 1

q

C¢

DC

100

1160

1158,6

200

940

939,2

300

840

839,8

400

860

860,4

500

1000

1001,0

600

1260

1261,6

700

1640

1642,2

800

2140

2142,8

900

2760

2763,4

1000

3500

3504,0

 

Общая схема введения предельных величин такова: пусть величина Yявляется функцией от величины X, тогда предельная величина MY(по X) определяется как отношение . Приращение DX в различных случаях задается по-разному. В одних случаях DX — это наиболее естественная единица измерения величины X, в других случаях DX — это разность между соседними значениями X в таблице, задающей функцию Y от X. В теоретических вопросах, однако, более удобным является определение MY, основанное на равенстве

.

Конечно, при таком определении приходится дополнительно предполагать, что Yявляется дифференцируемой функцией от X.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач используется понятие эластичности функции. Это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции y=f(x) в точке x0 называется следующий предел:

.                                                                                     (1)

Говорят также, что– это коэффициент эластичности y по x.

Из определения эластичности следует, что при достаточно малых Dxвыполняется приближенное равенство

.

Эластичность Ey — это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x. Если, например, x увеличится на один процент, то y увеличивается (приближенно) на Ey процентов.

Заметим, что

.                                                                                                                     (2)

Таким образом, если x0¹0, то f(x0)¹0, для существования конечного предела (1) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная f¢(x0). Представим отношение  как логарифмическую производную. Соответственно, формула (2) запишется тогда в виде

.                                                                                                                (3)

Далее рассматриваем свойства эластичности:

1.                       Эластичность в точке x0 суммы y=y1+…+yn положительных функций  (i =1,2,…,n) удовлетворяет соотношению , где  — это минимальная (максимальная) эластичность в точке x0 функции yi.

2.                       Эластичность произведения функций U=U(x) и V=V(x) в точке x0 равна сумме эластичностей функций U и V в той же точке:

.

3.                       Эластичность частного функций U=U(x) и V=V(x) в точке x0 (V(x0) ¹0) равна разности эластичностей функций U и V в той же точке:

.

4.                       Для функций y=f(x) и x=g(t) эластичность y по t в точке t0 удовлетворяет следующему равенству:

.

5.                       Для функции y=f(x) эластичность обратной функции x=g(y) в точке y0 удовлетворяет соотношению:

.

После этого на примерах рассматриваем нахождение эластичности функции.

1. Пусть y=C-const. Используя формулу (2), получим

.

2. Пусть эластичность функции y=x+C, C — const.

По формуле (2) получаем

.

3. Найти эластичность степенной функции .

Применяя форму (3), находим эластичность

.

Практика преподавания показывает, что демонстрация возможности применения производной функции одной переменной в экономической теории способствует усилению мотивационной составляющей учебного процесса, существенным образом влияет на усвоение студентами данного раздела математического анализа и подготавливает студентов к дальнейшей профессиональной деятельности.

 

Литература:

 

1.                  Гудкова В. С., Ячинова С.Н, Новичкова Т. Ю. Наглядность как средство повышения качества обучения математике // Вестник магистратуры. — 2014. — № 12–4 (39). — С.41–43.

2.                  Крымская Ю. А., Титова Е. И., Ячинова С. Н. Построение математических моделей в прикладных задачах // Молодой ученый. — 2013. — № 12 (59). — С. 3–6.

3.                  Куимова Е. И., Куимова К. А., Ячинова С. Н. Формирование мотивационной составляющей обучения на примере изучения дифференциальных уравнений // Молодой ученый. — 2014. — № 2(61) — С.775–777.

4.                  Куимова К. А., Куимова Е. И., Ячинова С. Н. Профессиональная подготовка экономистов посредством решения оптимизационных задач // Молодой ученый. — 2014. — № 15 — С. 282–286.

5.                  Ячинова С. Н., Гудкова В. С. Мотивация обучения студентов посредством моделирования // Молодой ученый. — 2014. — № 4 — С.1141–1144.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle