Библиографическое описание:

Алишев А. Г., Якубова Н. М., Ганиева Д. А. Построение формальных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Молодой ученый. — 2015. — №5. — С. 1-6.

В данной работе исследуются системы нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядка вида

,                                                                                    (1)

где х, f-n-мерные векторы, – действительная квадратная матрица порядка -малый параметр,  — натуральные числа и такие что  -медленные время,  фиксированное число.

Известна, что структура формальных, в смысле [1] частных решений системы (1) тесно связано о поведением корней так называемого характеристического уравнения

,                                                                                                  (2)

-единичная матрица порядка .

В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня характеристического уравнения (2), т. е. так называемый критический случай [2]. Этот случай, а также случай, от отличных от нуля корней уравнения (2) для системы нелинейных дифференциальных уравнения высокого порядка в литературе не рассматривалась.

По этому несомненно представляет определенный интерес исследование системы вида (1). В дальнейшем будем считать, что выполняютcя условия:

1)   матрица  допускают разложения:

2)   матрицы при , а вектор  в область , где  некоторая область пространства переменных , неограниченно дифференцируемых;

3)   при , , ,                                                             (4)

4)   , , где , , .

Для удобства в системе (1) введем замену .

Тогда системы (1) запушатся в виде

                                                                             (5)

Теорема 1. Если выполняются условия 1–4, то система дифференциальных уравнений (5) имеет формальные частные решение вида

Доказательство. В зависимости между числом p и q рассмотрим две случае 1) p>q; 2) p<q. Доказательство теорема приведём для случая p>q, а для случая p<q теоремы доказывается аналогично. Поставляя (6) в системы (5) и учитывая разложения вектор  в ряд Тейлора в окрестности точки  получим

                                                                                                              (7)

где элементы матрицы  и координаты вектор  вычисляются в точке  выражаются определенным образом через  (i=1,2,3, …, s–1).

Если в тождестве (7) приравняем коэффициенты при одинаковых степеням , то получим следующую систему уравнений для определения неизвестных :

где  при  вектор  при  вектор  селей час число .

Из системы (8) находим

                                                                                      (11)

где  — произвольные, отличные от нуля  неизвестные функции, определявшееся наследующем шаге, -собственные вектор матрицы  соответствующие нулевому собственному значения.

Уравнение (9) с учетом (11) при r=0 имеет вид

.                                                                                (12)

Для решения уравнения (12) необходимой достаточно, чтобы выполняли условия разрешимости

или

                                                                                  (13)

где,  элемент ноль-пространства сопряженной матрицы .

Уравнения (13) запишем следующим виде

                                                                                                            (14)

Таким образом получаем относительно неизвестных функций  неявный уравнений. Предположим, что для уравнений (14) выполняются все условия теоремы о неявной функций [2] и определим . Условия (13) для уравнения (12) выполняются то находим

                                                                          (15)

где  — неизвестная функция, определяющаяся на следующем шаге,  — обобщенно-обратная матрица к матрицы  имеет вид

.

 — знак тензорный произведение.

С учетом (12) при р=1 из уравнения (10) когда  получаем

.                                                             (16)

Условия разрешимость для уравнения (16) имеет вид

                                                                            (17)

Согласно условия теоремы 1

тогда из (17) определим

                                                                                                                      (18)

Учитывая выполнение условия (17) из уравнения (16) находим

                                                                                                    (19)

где  — неизвестная функция определяются следующим шаге.

Продолжая процесс определений неизвестный коэффициенты ряда (6) уравнения (10) запишем

, s=q+1, q+2,… (20)

Условия разрешимо с для уравнения (20) имеет следующем виде

                       (21)

Отсюда определим неизвестная функция

.                                                                                      (22)

Тогда из уравнения (20) определяются  вектор следующем образом

,                                                    (23)

где неизвестная функция  определяются на следующем шаге. Описанная здесь схема решения показывает, как можно найти элементы формального разложения (6), т. е. векторы  c любом номером s=0,1,….

Теорема 1 доказана.

Теперь покажем, что формальные решение являются асимптотическим разложениям и некоторых точных решений системы (1). В связи с этим рассмотрение вводим так называемся m-тое приближение к искомым решением системы (1) в веди

Пуст  приставляет собой точное решение системы (1), удовлетворяющее при  тем же начальным условиям, что и . Тогда можно показать, что приближенное решение  асимптотически сходится к точному решению

Не останавливаясь подробно на деталях доказательства укажем основные его этапы. Наряду с системой (1) рассмотрим эквивалентную ей систему уравнений первого порядка

                                                                                          (25)

в котором -матрица и -мерные вектор имеет структуру

где 0-нулевая, E–единичная  матрицы. Эта система получаются из системы (1) посредством замены

Для уравнения (25)  — приближенный будет .

Лемма. Пусть выполняются условия теорема 1, тогда  — приближение  удовлетворяет уравнению

                                 (26)

где  — вектор-функция равно мерно ограниченная на сегменте [0,L]

Доказательство леммы производится постановкой выражения

в уравнение (25) и последующей оценки полученных выражений (см [3]).

Введем рассмотрение разность

.                                                                                         (28)

где  и  — приближенные и точное решение системы (25), соотствуюшее одиноким начальным условиям. Очевидно, вектор-функция  удовлетворяет уравнению

            (29)

с начальными условиями

                                                                                                                   (30)

Теорема 2. Предположим, что выполнении условия теоремы 1, и вектор-функция  удовлетворяет условию Лепщица с постоянной :

                                                                  (31)

Тогда найдется такие положительные числа  и  что при  на интервал  будет выполняется неравенство:

                                                                                 (32)

Доказательство. Легко видеть, что система (29) с условиям (30) эквивалентна следующей системе интегральных уравнений:

где  являются решение задачи

                                                                                   (34)

удовлетворяющие условию

                                                                                              (35)

Из (33), учитывая неравенство (31) и (35) получим

Согласно равномерно ограниченности на [0,L].

из неравенства (36) следует неравенство

где

Тогда для системы (1) получаем оценку вида

                                                                      (38)

Теорема 2 доказана.

 

Литература:

 

1.         Алишев А. Г. Решение нелинейных дифференциальных уравнений дробного ранга. // ДАН. УССР, сер. А, Н6, — 1982, — с. 6–9.

2.         Басилева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярной возмущённые уравнение в критических случаях. — Изд. МГУ. — 1978. — 105 с.

3.         Фихтенгольц Б. П. Основы математического анализа. — М.: Наука, — 1968, — 440 с.

4.         Алишев А. Г. Приближенные решение системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Препринт. АНУзССР, НПО «Кибернетика», Т. — 1994, — 59 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle