Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. О кратности непрерывного спектра дифференциального оператора первого порядка в пространстве вектор-функций // Молодой ученый. — 2015. — №3. — С. 15-18.

Пусть  — минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный формально самосопряженным дифференциальным выражением

                                                                            (1)

в гильбертовом пространстве  вектор-функций , рассматриваемых как вектор-столбцы, со скалярным произведением

.

Коэффициенты  и  выражения (1) — эрмитовы матрицы-функции, причем  невырождена и абсолютно непрерывна на;  суммируема на любом сегменте . Пусть  и  — вектор-функции, для которых выражение (1) имеет смысл. Тогда имеет место аналог тождества Лагранжа:

.                                                                             (2)

С помощью стандартных рассуждений (см. например, [1]) можно показать, что максимальный оператор, порожденный в пространстве  дифференциальным выражением (1), является сопряженным оператору . Обозначим его символом . Принимая во внимание тождество (2), область определения  оператора  можно охарактеризовать как линейное многообразие тех вектор-функций , которые для любой вектор-функции  удовлетворяют условию .

В этой работе исследуется кратность спектра самосопряженного расширения  оператора , порожденного операцией  в гильбертовом пространстве .

Стандартным образом (cм., например, [1]) можно построить обобщенную резольвенту оператора , которая при любом невещественном  является интегральным оператором вида , где  — матричное ядро

,

а  — фундаментальная матрица однородной системы , удовлетворяющая условию  ();  — характеристическая матрица-функция оператора ; . Обобщенная резольвента  — симметрического оператора  допускает представление вида , где  обобщенная спектральная функция оператора . Положим

.

При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте. Для любых вектор-функций  и  из  и любых вещественныx  и  имеет место равенство:

,

позволяющее получить формулу всех спектральных функций  оператора :

,                                                                                   (3)

где  — спектральная матрица-функция распределения оператора , .

Подпространство  называется порождающим подпространством самосопряженного оператора  со спектральной функцией , если замыкание линейной оболочки множества , где  пробегает совокупность всех интервалов числовой оси, совпадает с . Кратностью спектра самосопряженного оператора называется минимальная размерность порождающего подпространства этого оператора.

Известно (cм., например, [2, 3]), что совокупность всех обобщенных резольвент  симметрического оператора  в гильбертовом пространстве определяется формулой , где  — любое самосопряженное расширение оператора  в некотором объемлющем пространстве  — единичный оператор в , а  — оператор проектирования в  на . Введем обозначения: . Тогда имеет место

Лемма 1. Пусть  — вектор-функция, удовлетворяющая условиям:  представима в виде , где  — квадратная матрица, столбцами которой служат вектор-функции , а  — вектор-функция, удовлетворяет условию Липшица. Кроме того, при любом .

Тогда для любого и любого имеет место равенство

,                                                                      (4)

где  определяется формулой (3).

Соотношения (2) и (4) приводят к следующей лемме.

Лемма 2. Пусть при любом  система уравнений  имеет решение  такое, что;

1. , где ;

2. для любой вектор-функции

3. при фиксированном  вектор-функция  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда при любых

,                                                                          (5)

Теорема 1. Пусть при любом  система  имеет  линейно независимых решений

                                                                                           (6)

таких, что:

1.      для каждого из  первых решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

2.      для каждого из  последних решений (6) выполняются условия:

а)     ;

б)     для любой вектор-функции ;

3.      каждая из вектор-функций (6) при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте .

Тогда кратность части спектра самосопряженного расширения оператора , заключенной в сегменте , не превосходит .

При доказательстве теоремы существенно используется соотношение (5).

Замечание. Если оператор  с минимальной областью определения, порожденный операцией  в пространстве  является самосопряженным, то условия 1. б и 2. б можно опустить. В частности, такая ситуация складывается, если выполняются условия

Пусть конец  промежутка  регулярен. Как известно, самосопряженное расширение  в симметрического оператора  называют минимальным, если подпространство , такое что, и ни одно его подпространство, отличное от нулевого пространства не приводит . Имеет место теорема 2.

Теорема 2. Пусть сегмент  не содержит собственных значений оператора  и при любом  система уравнений  имеет линейно независимых решений  таких, что:

1.

2. для каждой вектор-функции

3. каждая из вектор-функций  при фиксированном  удовлетворяет условию Липшица относительно  на сегменте . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , заключенной в сегменте  не превосходит .

Теоремы 1 и 2 позволяют судить о характере спектра самосопряженных расширений оператора  на основе поведения коэффициентов дифференциального выражения (1) в окрестности сингулярных концов промежутка .

Введем обозначения: - собственные значения матрицы .  минимальное самосопряженное расширение оператора , порожденного выражением (1) в пространстве . Предположим, что  при  и  число можно брать произвольно большим.

Теорема 3. Пусть при любом  матрицы и, таковы, что:

1. матрица  имеет конечный предел на бесконечности , причем предельная матрица имеет различные собственные значения;

2. матрицы  и  абсолютно интегрируемы на промежутке ;

1.                 собственные значения матрицы  просты, отличны от нуля и асимптотически разделены, т. е.  не равно нулю для различных индексов.

Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где  число собственных значений матрицы , лежащих в левой полуплоскости.

Теорема 4. Пусть при любом :

1.      матрицы  и  согласованы, т. е.  и , где  — диагональная матрица с элементами (постоянные), и  — комплекснозначные функции,  для ;

2.      матрица  подчинена матрице  при намного большем, чем единица, т. е. ;

3.      предел  существует и конечен, матрица  невырождена и имеет различные собственные значения

4.       и  при  намного большем, чем единица;

5.      , где . Тогда кратность непрерывной части спектра оператора , содержащейся в сегменте  не превосходит , где - число собственных значений матрицы , удовлетворяющих условию .

 

Литература:

 

1.      Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

2.      Фетисов В. Г., Филиппенко В. И. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография. Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.

3.      Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве //Исследования по функциональному анализу и его приложениям. — М.: Наука, 2006. С. 293–344.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle