Библиографическое описание:

Сухов Я. И., Гарькина И. А. Некоторые общие положения методики составления и решения дифференциальных уравнений в прикладных задачах // Молодой ученый. — 2014. — №19. — С. 243-245.

Составление дифференциального уравнения по условию задачи чаще всего состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращением [1]. Умение составить дифференциальное уравнение во многом зависит от навыка и понимания решающим физического содержания задачи.

Методика составления и решения дифференциального уравнения сводится к следующему:

-          внимательному и подробному разбору условий задачи и выполнению чертежа;

-          составлению соотношения между переменными и их приращениями для элементарного акта процесса (то есть процесса, протекающего за малый промежуток времени, или, в общем случае, в течение малого приращения аргумента);

-          составлению дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

-          интегрированию составленного дифференциального уравнения и определению его общего решения;

-          исследованию общего решения;

-          определению вспомогательных параметров (если они есть по условию задачи);

-          выводу закона, определению частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и числовому определению искомых величин (если это требуется по условию задачи);

-          анализу ответа.

Составив соотношение между переменными величинами и их приращениями для элементарного акта процесса, переходят к пределу при стремлении приращения аргумента к нулю, получают дифференциальное уравнение в дифференциалах. Интегрирование полученного уравнения позволяет, объединив совокупность элементарных актов процесса, получить зависимость, которой подчиняется данный процесс в целом.

Иногда делается ряд допущений, упрощающих задачу, но не отражающихся в результатах. Например, бесконечно малые приращения величин заменяются их дифференциалами. Предполагается, что всякий физический процесс, рассматриваемый в течение бесконечно малого промежутка времени , протекает с постоянной скоростью, и т. д.

Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от её условия, используются известные законы физики, химии, механики и других наук и различные математические сведения.

Обычно для заданных дифференциальных уравнений (или системы уравнений) определяются их решения (прямые задачи теории дифференциальных уравнений; в обратных задачах решения известны и требуется определить неизвестные структуру, порядок и параметры этого уравнений (или системы); эти задачи иначе называются задачами идентификации).

С точки зрения соотношения «причина-следствие» задачи математического моделирования условно разделяются на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины). Обычно обратными задачами называются задачи, решение которых состоит в определении причинно-следственных связей в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса (определяются параметры данной модели по имеющимся результатам наблюдений и прочей экспериментальной информации).

Приведем простейший пример обратной задачи. Радиоактивный распад описывается физическим законом: скорость распада пропорциональна количеству радиоактивного вещества, имеющемуся в данный момент времени. Математической моделью этого процесса является решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

,

где  — количество вещества в данный момент времени, - количество радиоактивного вещества в начальный момент времени, коэффициент пропорциональности - коэффициент распада. Если постоянные  и  известны, то, решив задачу Коши, можно определить, как будет меняться количество радиоактивного вещества с течением времени. Обратная же задача заключается в определении коэффициента  и начальных данных  по дополнительной информации о решении  при  (когда  и  неизвестны, но из эксперимента можно определить  для ).

Далее рассмотрим ретроспективную идентификацию динамической системы, описываемой системой дифференциальных уравнений второго порядка. А именно, в результате эксперимента были определены осциллограммы колебаний технической системы по обобщенным координатам  и их скоростям  при пробных воздействиях [2,3]. Требуется определить параметры технической системы в предположении, что ее поведение описывается системой дифференциальных уравнений вида:

                                                                                                                            (1)

или в векторно-матричной форме =, или

, .

Уравнения (1) определяют класс и структуру рассматриваемой технической системы. Таким образом, требуется определить параметры этой системы (коэффициенты  уравнений (1)) по синхронным измерениям

,

при «пробных воздействиях» (начальных условиях)

                                                                                           (2)

Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

,

а корни этого уравнения есть

,

где - соответственно собственная частота и относительный коэффициент демпфирования .

Справедливо:

;

.                                                                                                      (3)

Введя = (след матрицы) и =, (3) можно представить в виде

.                                                                                                         (4)

Откуда

.

Решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), имеет вид:

;

.                                                                                                       (5)

По осциллограмме  легко определить  и , откуда

.

Отметим, что кривая  соответствует реальному процессу, происходящему в рассматриваемой технической системе, то есть является реакцией системы по координате  при пробных воздействиях (2). А , определяемые по (5), являются лишь приближением — моделями процессов  и  в выбранном классе, определяемом видом системы (1).

Из (1) имеем

;

.

С учетом (2), (4) получим:

; ; ; .

Таким образом, при известной структуре системы дифференциальных уравнений по заданному ее решению при начальных условиях

,

определили неизвестные параметры  технической системы. Отметим, что при этом кроме  и  для определения  потребовались и синхронные реализации  (во всяком случае, в окрестности ). Рассмотренная задача — есть частная задача параметрической идентификации или частная задача идентификации. Если бы вид систем уравнений, решением которой являются экспериментальные процессы , был неизвестен, то задача значительно усложнилась бы (это общая задача идентификации).

Как видим, в отличие от задач прямого моделирования обратные задачи относятся к классу «некорректных» (в математическом смысле), в частности неустойчивых относительно погрешностей входных данных. Для корректности постановки задачи необходимо:

-        существование решения при всех допустимых исходных данных;

-        единственность данного решения;

-        устойчивость решения к изменениям (малым) исходных данных.

Если задача не удовлетворяют хотя бы одному из указанных условий, то она называется некорректно поставленной.

Некорректность присуща обратным задачам почти всегда; в одних случаях она может быть преодолена весьма просто, в других вообще требует переосмысления понятия самого решения

Из указанного следует, если при приближенном решении обратной задачи использовать какой-либо классический алгоритм формально без учета некорректности задач, то возможно получение результата, не имеющего ни научной, ни прикладной ценности. Игнорировать некорректность постановки задачи нельзя. Для ее преодоления имеются два пути:

-          корректная постановка задачи, основанная на привлечении дополнительной информации об искомом решении;

-          управление классическими алгоритмами некорректно поставленной задачи.

При идентификации рассмотренной выше системы второго порядка использовалась дополнительная информация об искомом решении: результаты экспериментальных исследований практически совпали с теоретическим решением системы (1) при заданных начальных условиях [4].

 

Литература:

 

1.                  Данилов А. М. Данилов А. М., Фадеева Г. Д. Дифференциальные уравнения. — Пенза: ПГАСА. — 1997. — 144 с.

2.                  Данилов А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 296 с.

3.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: монография. — Пенза: ПГУАС. –2014. — 168 с.

4.                  Математические методы в строительном материаловедении: монография / И. А. Гарькина [и др.]; под ред. акад. РААСН В. И. Соломатова. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. — 2001. — 188 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle