Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. Спектральные разложения квазидифференциальных операторов // Молодой ученый. — 2014. — №15. — С. 1-4.

Теорема о спектральном разложении самосопряженных линейных операторов, по мнению многих авторов, является одной из самых удачных математических абстракций. Она имеет множество приложений в функциональном анализе и в математической физике и играет существенную роль в обосновании квантовой механики. С тех пор как эта теорема была впервые доказана Д. Гильбертом, ее содержание значительно расширилось. В настоящем сообщении построено спектральное разложение симметрического оператора, порожденного в гильбертовом пространстве, функций суммируемых с квадратом модуля, некоторой обобщенной квазидифференциальной операцией.

Рассмотрим симметрический оператор , действующий в гильбертовом пространстве  и имеющий плотную в пространстве  область определения . Оператор  не предполагается самосопряженным, так что он является частью сопряженного с ним оператора . В общем случае  .

Функция , определенная для любого вещественного , называется спектральной функцией оператора , если выполнены следующие условия:

а) для любого вещественного   есть позитивный оператор;

б) для любого элемента  гильбертова пространства  в котором рассматриваются и , не убывает при возрастании параметра ;

в) для любого элемента  гильбертова пространства   есть непрерывная слева в смысле нормы элемента функция параметра ;

г) для любого элемента  гильбертова пространства  , если

, и , если . Причем эти предельные соотношения рассматриваются в смысле нормы элемента;

д) если  — любой конечный промежуток и - любой элемент из пространства , то имеют место соотношения:

                                                                          (1)

где .

1. Спектральная функция называется ортогональной, если  есть оператор ортогонального проектирования при любом вещественном значении . Если оператор - самосопряженный, то он имеет только одну спектральную функцию и она — ортогональна. Обратно, всякая ортогональная спектральная функция однозначно определяет самосопряженный оператор . Если же оператор  несамосопряженный, то он имеет неортогональные спектральные функции.

Согласно известной теореме М. А. Наймарка, для любой спектральной функции  оператора  существует в некотором гильбертовом пространстве  такое самосопряженное расширение оператора , что ортогональная спектральная функция  оператора  связана с  формулой

                                                                                                   (2)

где  — оператор ортогонального проектирования.

Учитывая (1), можно рассматривать равенство

                                                                                                                  (3)

как разложение по обобщенным собственным элементам оператора .

Для спектральных функций  симметрического оператора , действующих в абстрактном гильбертовом пространстве, показано, что и в этом случае имеются «краевые условия», зависящие от параметра , которым удовлетворяют обобщенные собственные элементы оператора , участвующие в разложении (3).

Пусть  — какое-либо разложение единицы в , а  и  — фиксированные вещественные числа. Обозначим через  линейное многообразие векторных функций , принимающих значения в гильбертовом пространстве  и допускающих представление , где  — произвольные непрерывные комплекснозначные функции параметра , а  — произвольные элементы из пространства . Для различных векторных функций эти элементы и их число могут быть разными.

Для любых вектор-функций  существует интеграл

,                                                (4)

где .

Введем в рассмотрение совокупность  вектор-функций , которые принимают значения в пространстве , и, кроме того, удовлетворяют следующему условию: при любом  для функции  существует такая функция , что выполняется следующее условие: , где  и  имеют прежний смысл. Множество  является, очевидно, линейным многообразием и вместе с векторной функцией  ему принадлежит также , какова бы ни была непрерывная комплекснозначная функция . Легко убедиться, что при любых  и  из совокупности  существует интеграл (4).

Если значения интеграла (4) принять за скалярное произведение  векторных функций  и , то  превратится в гильбертово пространство, в общем случае — неполное. Пополнение пространства  является, очевидно, пополнением и для пространства в этой же метрике. Заметим, что пополнение пространства  совпадает по существу с пространством , которое можно использовать при оценке кратности спектра самосопряженного расширения оператора  [1].

Лемма. Если  есть спектральная функция симметрического оператора , то для любых вектор-функций ,  существует операторный интеграл Стилтьеса  и имеет место формула =.

2. Пусть матрица  имеет размерность  и составлена из комплекснозначных функций, определенных на интервале  и удовлетворяющих следующим условиям:

(i)  в интервале  для индексов, удовлетворяющих неравенствам ;

(ii)  — локально суммируемы, т. е.  для ;

(iii)  в  для .

Определим квазипроизводные  следующим образом:

.

Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [2]. В дальнейшем предполагаем, что функции  и их квазипроизводные до - го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка . Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические квазидифференциальные выражения, то предположим, что матрица , кроме требований (i), (ii) и (iii), удовлетворяет также условию симметричности: , где  — матрица, сопряженная к матрице ,  — символ Кронекера. Легко убедиться, что , где  — натуральное число. Матрица  — косоэрмитова, если натуральное число  — четно, а матрицы  — косоэрмитовы, если натуральное число  — нечетно. Можно считать, что скалярное дифференциальное выражение , где  — мнимая единица, порождается матрицей . Квазидифференциальная операция  определяет минимальный замкнутый симметрический оператор  в гильбертовом пространстве .

Пусть, например, симметрический квазидифференциальный оператор с минимальной областью определения в пространстве , порожденный квазидифференциальным выражением  порядка . Концы рассматриваемого промежутка  не предполагаются регулярными, т. е. могут быть сингулярными. В этом случае формула (3) реализуется в виде разложения по решениям уравнения

,                                                                                                                 (5)

Решения уравнения (5) играют роль обобщенных собственных элементов оператора .

Для любых функций  и , к которым применима квазидифференциальная операция , имеет место обобщенная формула Лагранжа

,                                                                                         (6)

где . Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (6), получим формулу Грина

,

где . Пусть  — квазипроизводные функции , а , составленный из этих квазипроизводных, — вектор-столбец. Заметим, что , где  — скалярное произведение в - мерном евклидовом пространстве. Матрица , если - четно, и , если  — нечетно, позволяет тождество Лагранжа можно переписать в виде .

Теорема 1. Пусть  — матрица-функция, удовлетворяющая условиям: (i), (ii), (iii). Квазидифференциальная операция  задана обычным образом. Дополнительно предположим, что функции  — локально суммируемы на рассматриваемом промежутке. Кроме того, предположим, что функция  положительна на промежутке . Тогда для любого комплексного числа , любого вещественного числа  и любых комплексных чисел , существует единственное решение , заданное на промежутке , начальной задачи  при условии .

Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в [3, 4].

Теорема 2. Пусть , , матрица , удовлетворяет требованиям (i) — (iii) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел  существует функция , принадлежащая области определения  операции , такая что

3. Как известно, каждой спектральной функции  оператора

отвечает некоторая обобщенная резольвента , определяемая формулой

.

При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция  однозначно восстанавливается по обобщенной резольвенте ; для любых функций  и  из  и любых вещественных  и  имеет место равенство:

.                                                             (7)

Равенство (7) позволяет построить формулу всех спектральных функций  оператора .

Пусть  — какая-либо обобщенная резольвента оператора  и  — ее характеристическая матрица. При любых вещественных  определим матрицу  формулой

.                                                                                   (8)

Формула (8) имеет смысл при любом вещественном  и  является неубывающей матричной функцией. Матрицу  называют спектральной функцией распределения оператора , соответствующей обобщенной резольвенте .

Пусть  — гильбертово пространство - мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве  определяется формулой .

Теорема 3. Для любой функции  имеет место равенство , где ; а несобственный интеграл  сходится в смысле метрики пространства .

Литература:

1.         Филиппенко В. И. Линейные квазидифференциальные операторы в гильбертовом пространстве // Исследования по функциональному анализу и его приложениям.- М.: Наука, 2006. С. 293–344.

2.         Everitt, W. N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W. N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. — V. 27, № 3. — P. 363–397.

3.         Филиппенко В. И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, 5–11 сентября 2006 года. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. — С. 167–169.

4.         Фетисов В. Г. Исследования по теории операторов и их приложениям. Монография [Текст] / В. Г. Фетисов, В. И. Филиппенко. — Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2008. — 185 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle