Библиографическое описание:

Пономаренко А. Н. Улучшение логарифмического метода для дифференциальных уравнений // Молодой ученый. — 2014. — №14. — С. 19-24.

В статье представлены усовершенствованные варианты логарифмических методов решения некоторых видов дифференциальных уравнений.

Здесь и далее: , ,

,

, ,

 — известные интегрируемые функции,  — неизвестная функция, ,

*– вещественные постоянные, – константы интегрирования.

1. Интегрирование улучшенным вариантом логарифмического метода уравнений вида:

  (1)

Улучшенный метод решения:

Полагая , и разделяя уравнение (1) на :

Далее действия очевидны:

 (1.1)

Интегрируя:

Окончательно:

Вторым решением будет, очевидно:

* 

1.1. Если , то уравнение (1) будет иметь вид

 (2)

Метод интегрирования: так как, по предположению, , то и , и уравнение (2) может быть представлено в виде

Далее действия сходные с предыдущими:

, что равносильно , далее

 (3)

В данном случае метод был показан только для целых чисел  в уравнении (1), за исключением . Действия, подобные указанным, очевидно, применимы и к случаю, когда  — любое вещественное число, не равное единице, если после шага (1.1) сразу дифференцировать первое слагаемое по правилу дифференцирования логарифма. Но это затем приведет к долгим и не интересным выкладкам. В 4-м пункте статьи будет показан менее громоздкий вариант метода, который устраняет лишние действия.

2. Улучшенный метод интегрирования уравнения вида:

 

Ход метода:

Интегрируя:

Окончательно:

3. Уравнения вида:

 

Метод интегрирования: в этом случае допустимо подставить , тогда уравнение будет иметь вид:

Далее действия очевидны:

Подстановка  приводит последнее уравнение к уравнению вида (1) [при , , ], и его решение по соответствующей формуле будет:

,

возвращаясь к подстановке:

, где

4. Частные случаи хода логарифмического метода:

4.1. Решая аналогично уравнение (2), придем (при ) к уравнению

Оно будет равносильно уравнению:

Его можно представить в виде:

 

В свою очередь, ,

Тогда, если , то .

Если , то ,

так как  — однозначная комплексная постоянная, а значит допустимо дифференцирование по комплексной функции, а дифференциал от комплексной постоянной равен нулю. Исходя из этого, во всех вариантах логарифмического метода решения дифференциальных уравнений, выражение  может быть в данных случаях всегда заменено выражением , и наоборот. На результат это не повлияет. Аналогично обстоит дело и с , которое при дифференцировании, так же как и , тоже обращается в . Исходя из этого, полученное уравнение  может быть заменено равносильным ему , где , в зависимости от того, предположено ли , или  соответственно. Далее, по формуле сложения производных: , или

, где

Далее действия очевидны:

,

4.2. Так как , то первый метод решения уравнений вида , где  — будет теперь любое вещественное число, удовлетворяющее условию , может быть заменен более облегченным;

Полагая , и разделяя уравнение на :

Интегрируя:

Окончательно:

В только что описанном варианте метода уже нет лишних элементарных преобразований, которые нисколько не интересны и лишь увеличивают количество действий.

4.3. Аналогичным пошаговым упрощенным методом для уравнений вида

будет (полагая ) следующий:

4.4. Уравнение

 (4)

тоже может быть решено логарифмическим методом, если избавится от модуля под знаком дифференциала логарифма. Если , то исходное уравнение будет равносильно ; затем пошаговыми действиями выводится конечное решение: , , после чего допустима подстановка .

Окончательное решение: , а также . Подстановка  дает то же решение.

Общим видом уравнения (4) является:

  (5)

Метод решения:

 

, где ,

а решением последнего уравнения служит формула (3).

Выбор же , или в качестве первого слагаемого в первом шаге решения уравнений (4), или (5), снова приводит ко многим лишним действиям.

Литература:

1.      Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Изд-во: Физматгиз, 1959 г.

2.      Пономаренко А. Н. Логарифмический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Журнал «Молодой ученый» (№ 7 (54), июль 2013 г.), с. 3–5.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle