Библиографическое описание:

Чемезов Д. А. Гармонический анализ статически неопределимой рамы // Молодой ученый. — 2014. — №12. — С. 122-127.

В статье представлены результаты моделирования нагружения балки статически неопределимой конструкции в среде SolidWorks. Дано описание состояния конструкции при различных частотных режимах в соответствии с полученными эпюрами напряжения vonMisesи плотности энергии деформации.

Ключевые слова: балка, частота, напряжение vonMises, деформация

Статически неопределимой конструкцией является геометрически неизменяемая система, в которой реакции связей, характеризующие деформации не могут быть определены с помощью одних уравнений статики [1]. Статическая неопределимость рамы может быть выражена вследствие: а) большого числа внешних связей; б) наличия замкнутых контуров; в) наличия более трех внешних связей. Расчет напряжений, перемещений и деформаций статически неопределимых конструкций выполняют аналитическим методом или в специальных программных комплексах инженерного анализа (CAE — системы). Программные комплексы позволяют решать задачи различного характера, с высокой точностью имитируя реальные процессы с возможностью получения результатов исследования в виде интерактивных эпюр, графиков, таблиц и т. д.

При действии периодической нагрузки на элементы системы возникают вынужденные колебания конструкции [2, с. 4]. Напряженно-деформированное состояние конструкции от характера воздействия вынужденных колебаний определяется гармоническим анализом. На основании проведенного анализа можно судить об устойчивости системы.

Линейный гармонический анализ статически неопределимой рамы выполнялся в программной среде SolidWorks Simulation. Для расчета построена 3D модель рамы, общий вид и габаритные размеры которой представлены на рисунке 1.

Решение производилось в программе Direct Sparse. Были приняты следующие свойства имитационного моделирования: количество частот — 10; нижний частотный предел — 0 Гц (Цикл/сек.); верхний частотный предел — 20 Гц (Цикл/сек.); количество точек для каждой частоты — 15; ширина полосы для каждой частоты — 0,4; интерполяция — логарифмическая; демпфирование по Релею (α = 0,02, β = 0,04).

Высокая точность полученных результатов решения задачи обеспечивалась разбиением (сетка на основе кривизны) модели на 71823 элемента (112261 узел).

модель.TIF

Рис. 1. Габаритные размеры твердотельной модели рамы (масса — 475,8 кг)

В качестве материала модели была принята углеродистая сталь обыкновенного качества. Основные физико-механические свойства материала отображены в таблице 1.

Таблица 1

Параметр

Значение параметра

Предел текучести (σт), Н/м2

2,20594 · 108

Предел прочности при растяжении (σв. р.), Н/м2

3,99826 · 108

Модуль упругости (E), Н/м2

2,1 · 1011

Коэффициент Пуассона (μ)

0,28

Массовая плотность (ρ), кг/м3

7800

Модуль сдвига (G), Н/м2

7,9 · 1010

Коэффициент теплового расширения (β), К-1

1,3 · 10–5

На горизонтальную балку рамы действовала нормальная сила величиной 800 Н (рисунок 2). Крепление конструкции осуществлялось за основания двух вертикальных стоек.

Приложение нагрузки.tif

Рис. 2. Поверхность и направление приложения нормальной силы на балку рамы

Количество частотных шагов решения задачи — 106. Для каждого расчетного шага определено значение частоты: 1–93 шаги менее 1 Гц; 94 шаг — 1,37498 Гц; 95 шаг — 1,88468 Гц; 96 шаг — 2,42862 Гц; 97 шаг — 3,01478 Гц; 98 шаг — 10,0003 Гц; 99 шаг — 16,3457 Гц; 100 шаг — 16,9858 Гц; 101 шаг — 17,5719 Гц; 102 шаг — 18,1159 Гц; 103 шаг — 18,6256 Гц; 104 шаг — 19,1068 Гц; 105 шаг — 19,5628 Гц; 106 шаг — 20 Гц.

Результаты решения задачи на различных частотных шагах представлены эпюрами напряжения von Mises (рисунок 3 а, б, в) и плотности энергии деформации ε (рисунок 4 а, б, в) рамы.

напряжение 2,60 и 106 шаги.tif

Рис. 3. Эпюры напряжения von Mises σ конструкции: а) шаг 2-х частотный — 5,307 · 10–6 Гц; б) шаг 60-и частотный — 0,000466 Гц; в) шаг 106-и частотный — 20 Гц. Единица измерения — Н/м2

Напряжение von Mises представляет собой величину напряжения, рассчитанную исходя из составляющих напряжения. Оно предоставляет информацию, достаточную для оценки надежности конструкции [3]. На 2-х частотном шаге отмечено напряженное состояние всех элементов рамы под действием нагрузки. Максимальное напряжение σmax (485477,6 Н/м2) — в местах соединения горизонтальной балки и вертикальных стоек. При частоте 0,000466 Гц наблюдается сосредоточение напряжения конструкции только в местах соединения, σmax составляет 518012,5 Н/м2. Дальнейшее увеличение частоты до 20 Гц приводит к уменьшению σmax на рассматриваемом шаге до 101356,8 Н/м2.

деформация 2,60 и 106 шаги.tif

Рис. 4. Эпюра плотности энергии деформации ε конструкции: а) шаг 2-х частотный — 5,307 · 10–6 Гц; б) шаг 60-и частотный — 0,000466 Гц; в) шаг 106-и частотный — 20 Гц. Единица измерения — Н-м/м3

Плотность энергии деформации — отношение энергии к тому объему в котором она заключена. На эпюрах максимальная плотность энергии деформации εmax определена в местах соединения горизонтальной балки и вертикальных стоек. Отмечено, что на интервале частот от 5,307 · 10–6 до 20 Гц плотность энергии деформации уменьшается с 0,505 до 0,014 Н-м/м3.

Характер изменения напряжения von Mises и плотности энергии деформации рамы на всех частотных шагах представлены на рисунках 5 и 6.

Напряжение-частота график.tif

Рис. 5. Зависимость напряженного состояния рамы от величины частоты

Деформация-частота график.tif

Рис. 6. Зависимость плотности энергии деформации рамы от величины частоты

Коэффициенты массового участия важны для определения соответствия вычисленных мод (форм) колебаний для решения динамических задач с движением основания. Список коэффициентов массового участия в глобальных направлениях X, Y и Z, нормализованных относительно общей массы модели представлены в таблице 2.

Таблица 2

Коэффициенты массового участия

Номер режима

Частота, Гц

Направление X

Направление Y

Направление Z

Период, сек

1

0,00024333

0,062634

0,0031471

0,00011146

4109,6

2

0,0003374

0,61464

0,0029802

2,8941 · 10–5

2963,8

3

0,00036217

0,0011418

0,2119

0,025341

2761,2

4

0,00046862

0,001604

0,78142

0,011392

2133,9

5

0,00048713

0,00054528

0,0004313

0,96185

2052,8

6

0,00056644

0,31944

0,00012683

0,0012801

1765,4

7

58,147

6,5267 · 10–22

4,4119 · 10–26

1,4126 · 10–24

0,017198

8

97,135

3,4953 · 10–26

1,6159 · 10–23

5,4488 · 10–24

0,010295

9

105,16

1,6147 · 10–25

6,8327 · 10–24

4,2804 · 10–24

0,0095092

10

137,02

2,4062 · 10–24

3,2562 · 10–25

9,0134 · 10–26

0,0072983

Сумма X = 1

Сумма Y = 1

Сумма Z = 1

В таблице, номера режимов указывают на порядковые номера мод. Направления X, Y и Z — значения коэффициентов массового участия в глобальных направлениях соответствующих плоскостей для каждой моды.

По результатам исследования были сделаны следующие выводы:

1)      с увеличением резонансных частот в интервале от 5,307 · 10–6 до 20 Гц, уменьшаются максимальные значения напряжения von Mises и плотности энергии деформации конструкции более чем в 5 раз;

2)      определены расположение и величина максимальных значений напряжения von Mises и плотности энергии деформации конструкции;

3)      получены значения коэффициентов массового участия в 3 координатных направлениях.

Литература:

1.      Статически неопределимая система [Электронный ресурс] URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ %D1 %F2 %E0 %F2 %E8 %F7 %E5 %F1 %EA %E8_ %ED %E5 %EE %EF %F0 %E5 %E4 %E5 %EB %E8 %EC %E0 %FF_ %F1 %E8 %F1 %F2 %E5 %EC %E0 (дата доступа: 25.07.2014).

2.      Леонтьев Н. В. Применение системы ANSYS к решению задач модального и гармонического анализа. Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Информационные системы в математике и механике». Нижний Новгород. 2006. — 101 с.

3.      Von Mises Stress [Электронный ресурс] URL: http://www.plm-forum.ru/forum/viewtopic.php?t=3658 (дата доступа: 25.07.2014).

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle