Библиографическое описание:

Проценко Е. А., Семенова Г. А., Григорян Л. А., Тимофеева Е. Ф. Исследование погрешности аппроксимации двумерной математической модели транспорта наносов // Молодой ученый. — 2014. — №11. — С. 11-18.

В статье рассмотрена нестационарная пространственно-двумерная модель транспорта наносов в прибрежной зоне водоемов, учитывающая следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения, трение о дно. Выполнена дискретизация предложенной модели транспорта наносов. Показано, что построенные разностные схемы обладают первым порядком погрешности аппроксимации относительно шага по временной переменной и вторым — относительно шагов по пространственным переменным.

Ключевые слова: транспорт наносов, разностные схемы, аппроксимация, погрешность.

Введение. При конструктивном преобразовании рельефов следует учитывать динамику процессов образования берега, исследовать формирование профиля дна в прибрежных акваториях под воздействием волновых процессов. Процесс перемещения наносов волнового поля вдоль берега относят к одному из важнейших явлений прибрежной зоны водоема [1, 2].

Для достоверного прогноза динамических явлений береговой зоны возникает необходимость в построении математических моделей процессов переноса вещества на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн, играющих важную роль в прогнозировании возможного вмешательства в экосистему, в анализе текущей ситуации, в принятии оперативных решений по преодолению антропогенных воздействий [2, 4].

Одним из наиболее эффективных методов исследования реальных процессов гидродинамики в настоящее время является численное моделирование. Для задач математического моделирования гидродинамических процессов в водоемах актуальной остается проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, применение которых позволяло бы получать достаточно точное приближенное численное решение. Математическое моделирование природных систем, в том числе мелководных водоемов, дополняет, а во многих случаях позволяет исключить дорогостоящие натурные эксперименты с реальной экосистемой [4, 5, 6].

Непрерывная модель. Уравнения процесса перемещения наносов запишем в дивергентном виде [7, 8]:

.                           (1)

где      Н — глубина дна, отсчитываемая от невозмущенной поверхности водоема;  ‒ пористость грунта; x, y — горизонтальные декартовы координаты;  ‒ касательное напряжение на дне;  ‒ критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов; А и  — безразмерные постоянные (в настоящей работе А равна 19,5,  равна 3),  ‒ частота волны; d ‒ характеристика осадков;  — плотности твердых частиц и воды;  — угол естественного откоса грунта в воде;  — ускорение свободного падения;  — время.

Введем обозначение:

С учетом ограничений на касательные напряжения на дне расчетной области данное выражение запишем в виде [5, 9]: ,       (2)

где       — функция Хэвисайда.

Записав уравнение (1) с учетом (2), имеем:

                                                    (3)

Уравнение (3) дополним начальным условием:         (4)

На границе отсутствует поток, вызванный влиянием гравитационных сил:           

                                                                                                           (5)

Таким образом, имеем непрерывную двумерную математическую модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема (1)-(5).         

Дискретизация двумерной математической модели транспорта наносов. Следующим этапом разработки двумерной математической модели процессов перемещения наносов в прибрежной зоне является построение дискретной модели по непрерывному аналогу. Построим разностную схему, аппроксимирующую уравнение (3) с соответствующими граничными и начальными условиями (4)-(5).

Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной прямоугольной расчетной сеткой  [10, 11]:

,

,

где  — индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно;  — шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям  соответственно;  — количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно;  — длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям , соответственно.

Для получения дискретной модели воспользуемся интегро-интерполяционным методом [11, 12]. Для этого запишем уравнение (3) в следующем виде:

,                          (6)

где     

Интегрируя уравнение (6) по области :

 имеем:

.                                      (7)

Вычислим каждый из полученных интегралов в отдельности.

Найдем значение первого интеграла, стоящего в левой части уравнения (7):

, где                                                                                                               .                                                                                                                                                  (8)

Найдем значение второго интеграла, стоящего в левой части уравнения (7):

.                                                                 (9)

Аналогичным образом можно записать значение третьего интеграла, стоящего в левой части уравнения (7):

.                        (10)

Найдем значение первого интеграла, стоящего в правой части уравнения (7):

.                                                (11)

Обозначим  Проинтегрируем выражение на отрезке , имеем: .                                                                                                  (12)

Левую часть равенства (10) запишем в виде: .

Преобразуем правую часть выражения (12):

.

Таким образом, выражение (12) можно записать в виде:

.                                                                                   (13)

Подставим (13) в (12), в результате получим:

,                                               (14)

где  — вес схемы [13].

Аналогично получим значение второго интеграла, стоящего в правой части уравнения (7):

.                                   (15)

Подставив выражения (8)-(10), (14)-(15) в уравнение (7), имеем:       

.                               (16)

Разделив выражение (16) на , получим дискретную модель транспорта наносов:

,                                              (17)

где , ,

Найдем значение . Обозначим  Проинтегрируем данное выражение по области : , в результате получим:                                                                                                                                          .                                                                                                                                                  (18)

Левую часть данного выражения запишем в виде: .

Правую часть выражения (18) запишем в виде:

Таким образом, выражение (18) можно записать в следующем виде:

,                                        (19)

где  — единичные вектора, направленные вдоль координатных осей  соответственно.

Аналогичным образом можно получить следующую аппроксимацию:

.                                   (20)

Таким образом, уравнение (17) с аппроксимациями (18)-(19) задают дискретную модель транспорта наносов.

Погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы. Найдем погрешность аппроксимации дискретной модели транспорта наносов. Запишем следующие разложения в ряд Тейлора относительно точки  с координатами  [10, 12].

,                                               (21)

.                                                (22)

При помощи разложений (21)-(22) можно вычислить порядок погрешности аппроксимации первого слагаемого в дискретной математической модели транспорта наносов (17).

.                                                      (23)

Для расчета погрешностей оставшихся слагаемых модели трансорта наносов (17) понадобятся разложения в ряд Тейлора относительно точки

,        

.        

Найдем погрешность аппроксимации для следующего выражения:

.

Принимая во внимание следующие равенства:

,

, получим:

.

Таким образом,

                                                                     (24)

Найдем погрешность аппроксимации для следующего оператора:

Принимая во внимание следующие равенства:

 получим:

                                                                     (25)

Таким образом, погрешность аппроксимации данного оператора

Нетрудно убедиться, что выражения (24) и (25) обладают вторым порядком погрешности аппроксимации по пространственной координате.

В результате получим следующее выражение:

Принимая во внимание следующие равенства:

, ,

, получим первый порядок погрешности аппроксимации по временной переменной.

Повышение порядка погрешности дискретизации до второго по времени приводит к необходимости решения систем нелинейных уравнений, что негативно сказывается на скорости вычисления. Следует также отметить, что кроме выражений ,  все остальные операторы аппроксимированы со вторым порядком погрешности аппроксимации при условии .

Вычислим погрешность аппроксимации коэффициентов .

Для этого найдем погрешность дискретизации поля градиента глубины в точках  и . Погрешность дискретизации поля градиента глубины в точке : .

Принимая во внимание следующие равенства:

,

получим погрешность аппроксимации поля градиента глубины:

.

Аналогичным образом можно получить аппроксимацию поля градиента глубины в точке : .

Из выражения , при  следует равенство порядков погрешности аппроксимации полей  и коэффициентов .

В итоге получаем второй порядок погрешности аппроксимации по пространственным координатам для поля коэффициентов .

Таким образом, общий порядок погрешности аппроксимации математической модели транспорта наносов равен .

Литература:

1.      Леонтьев И. О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. М.: Геос., 2001. 272с.

2.      Сухинов А. И. Прецизионные модели гидродинамики и опыт применения в предсказании и реконструкции чрезвычайных ситуаций в Азовском море//Известия ТРТУ. — 2006. № 3 (58). С. 228–235.

3.      Якушев Е. В., Сухинов А. И. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна «Акванавт» // Океанология, 2003, т. 43, № 1, с.44–53.

4.      Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов// Матем. моделирование. 2013. Т. 25.№ 12. С.65–82.

5.      Сухинов А. И., Никитина А. В., Чистяков А. Е., Семенов И. С. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе//Вычислительные методы и программирование. -2013. -Т. 14. С. 103–112.

6.      Проценко Е. А., Чистяков А. Е., Программная реализация математической модели распространения поверхностных волн // Альманах современной науки и образования. -2013. -№ 1 (65). С. 170–173.

7.      Проценко Е. А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 71–75.

8.      Проценко Е. А. Двумерная конечно-разностная модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема и ее программная реализация// Инженерный вестник Дона. 2010. Т. 13. № 3. С. 23–31.

9.      Проценко Е. А. Программная реализация математической модели транспорта наносов в прибрежной зоне водоема// Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2012. № 1. С. 48–55.

10.  Самарский А. А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

11.  Сухинов А. И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. -М.: МАКС Пресс, 2005. -408 с.

12.  Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Фоменко Н. А. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 87–98.

13.  Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Бондаренко Ю. С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами//Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. -№ 8 (121). С. 6–13.

Основные термины (генерируются автоматически): транспорта наносов, погрешности аппроксимации, модели транспорта наносов, наносов в прибрежной зоне, транспорта наносов в прибрежной, математической модели, временной координате и пространственным, координате и пространственным координатным, порядком погрешности аппроксимации, математической модели транспорта, и пространственным координатным направлениям, порядок погрешности аппроксимации, перемещение наносов, перемещения наносов, погрешности аппроксимации двумерной, модель транспорта наносов, погрешности аппроксимации математической, транспорта наносов равен, перемещения наносов запишем, перемещения наносов волнового.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle