Библиографическое описание:

Сухов Я. И., Гарькина И. А. Свойства композитов: оценка ранговой корреляционной связи // Молодой ученый. — 2014. — №9. — С. 214-216.

Системный подход проектирования композиционного материала, как системы, предполагает построение обобщенной математической модели, состоящей из совокупности частных моделей, описывающих каждое из свойств в отдельности. Поэтому для упрощения обобщенной модели целесообразно сократить количество существенных свойств. Для этого можно оценить корреляционную связь между отдельными свойствами композитов. Если эта связь существенна, то с определенной точностью моделирования при синтезе одно из свойств можно исключить из технического задания. Так, было установлено, что имеется существенная связь между пределом прочности при сжатии и твёрдостью для эпоксидных композитов. А именно, по указанным в таблице 1 рангам прочности при сжатии и твёрдости эпоксидных композитов был определен коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Таблица 1

Ранги

Свойства

Порядковый номер состава ЭК

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Прочность при сжатии (x1)

2

4

1

10

5

3

7

9

8

6

Твёрдость (x2)

2

5

1

10

4

3

7

9

8

6

Здесь объединённые ранги отсутствуют и

(можно показать, что Rсж= 20 T — 2,3).

Как видим, при проектировании рассматриваемых композитов возникает принципиальная возможность исключить экспериментальное определение одного из рассмотренных показателей.

Исследовалась также связь между коэффициентом структуры и коэффициентом энергоёмкости ЭК (табл.2).

Таблица 2

Ранги

Свойства

Порядковый номер состава ЭК

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

kстр, x3

10

4

5,5

9

8

7

5,5

3

2

1

kэн, x4

10

3

2

6,5

6,5

9

4

5

8

1

Оказалось, коэффициенты структуры и энергоёмкости должны определяться по экспериментальным данным самостоятельно:

(при ранжировке по признаку x13имеется одна группа с неразличимыми рангами 5,5; число элементов в группе m3 = 1; ; для x4имеем T4= 0,5).

Теснота связи между ранжировками Xk, Xj определяется коэффициентом корреляции Спирмена

(пригодна лишь в случае отсутствия объединённых рангов в ранжировках Xk, Xj). При совпадающих ранжировках (, ; ) имеем ; при противоположных ранжировках (, ;) справедливо .

При ранжировке по признаку xk имеется mk групп с неразличимыми рангами, и пусть далее nqk — число элементов в q-й группе, . Для ранжировки по признаку xk используется величина . Если q-я группа состоит лишь из одного элемента (nqk = 1), то  = 0, и эти элементы в расчёте величины Tk фактически не участвуют. При отсутствии объединённых рангов при ранжировке по признаку xk (mk = n; n1k = n2k =... = nnk = 1) справедливо Tk = 0.

В общем случае анализ парных ранговых статистических связей производится по ранговому коэффициенту корреляции Спирмена

(если Tk иTj малы по сравнению с , то приближённо можно принять:

;

формула точна при Tk = Tj).

При анализе парных ранговых статистических связей между ранжировками часто пользуются ранговым коэффициентом корреляции Кендалла (связаны между собой; коэффициенты — линейные функции от числа инверсий в перестановке); если абсолютные величины их значений не слишком близки к 1 и n ³ 10, то  » 1,5 . Напомним, что в некоторой перестановке числа i и j составляют инверсию, если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j. Для двух ранжировок Xk и Xj (соответствуют две перестановки xk(1), xk(2),..., xk(n)и xj(1),xj(2),..., xj(n)) естественной мерой нарушения порядка символов в одной перестановке от другой будет число s расположенных в неодинаковом порядке пар элементов (при Xk = (1, 2,..., n) указанная мера совпадает с числом инверсий в перестановке xj(1),xj(2),..., xj(n) и определяет минимальное число s транспозиций в этой перестановке, необходимых для приведения её к виду 1, 2,..., n).

Известно, при указанных выше условиях  распределяется нормально со средним значением и с дисперсией ; пространство элементарных исходов , состоит из N = n! всевозможных перестановок и не зависит от xk. Поскольку множество элементарных исходов W дискретно и конечно, то любое его подмножество измеримо и, следовательно, может интерпретироваться как случайное событие. При определении коэффициентов Спирмена и Кендалла речь, таким образом, идет о выборочных характеристиках ранговой связи. Возникает вопрос, как точно выборочные характеристики, определённые по указанным выше формулам, оценивают истинные теоретические значения. Теоретическими значениями коэффициентов ,  являются значения, вычисленные по приведенным формулам с заменой объёма выборки n объёмом N генеральной совокупности.

Доверительный интервал нормально-распределённой случайной величины  с дисперсией  есть интервал; tb определяется из условия b = 2 Ф(tb),  (tb = 1,96 при b = 0,95).

При заданном уровне значимости a следует признать наличие статистически значимой ранговой корреляционной связи, если  и n > 10;

 — 100  % -ная точка стандартного нормального распределения .

При использовании коэффициента Спирмена проверка значимости осуществляется по неравенству

,

где  — 100  % -ная точка распределения Стьюдента.

При данных таблицы 1 дисперсия , а доверительный интервал — . При b = 0,95; tb = 1,96 получим интервал — (0,797; 1,025); с учетом — 1 <  < 1 искомый доверительный интервал есть (0,797; 1).

Предлагаемая методика многократно использовалась при многокритериальном синтезе сверхтяжелых и химически стойких композиционных материалов специального назначения [1…3] и подтвердилась ее эффективность.

Литература:

1.                  Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. — № 2 (16). — С. 138–142.

2.                  Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Махонин А. С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях / Молодой ученый. –2013. — № 5. — С. 42–45.

3.                  Гарькина И. А., Данилов А. М., Жегера К. В. Математическое программирование в управлении качеством материалов / Региональная архитектура и строительство. –2014. –№ 1. — С. 30–36.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle