Системный подход проектирования композиционного материала, как системы, предполагает построение обобщенной математической модели, состоящей из совокупности частных моделей, описывающих каждое из свойств в отдельности. Поэтому для упрощения обобщенной модели целесообразно сократить количество существенных свойств. Для этого можно оценить корреляционную связь между отдельными свойствами композитов. Если эта связь существенна, то с определенной точностью моделирования при синтезе одно из свойств можно исключить из технического задания. Так, было установлено, что имеется существенная связь между пределом прочности при сжатии и твёрдостью для эпоксидных композитов. А именно, по указанным в таблице 1 рангам прочности при сжатии и твёрдости эпоксидных композитов был определен коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
Таблица 1
|
Ранги |
||||||||||
|
Свойства |
Порядковый номер состава ЭК |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
Прочность при сжатии (x1) |
2 |
4 |
1 |
10 |
5 |
3 |
7 |
9 |
8 |
6 |
|
Твёрдость (x2) |
2 |
5 |
1 |
10 |
4 |
3 |
7 |
9 |
8 |
6 |
Здесь объединённые ранги отсутствуют и
(можно показать, что Rсж= 20 T — 2,3).
Как видим, при проектировании рассматриваемых композитов возникает принципиальная возможность исключить экспериментальное определение одного из рассмотренных показателей.
Исследовалась также связь между коэффициентом структуры и коэффициентом энергоёмкости ЭК (табл.2).
Таблица 2
|
Ранги |
||||||||||
|
Свойства |
Порядковый номер состава ЭК |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
kстр, x3 |
10 |
4 |
5,5 |
9 |
8 |
7 |
5,5 |
3 |
2 |
1 |
|
kэн, x4 |
10 |
3 |
2 |
6,5 |
6,5 |
9 |
4 |
5 |
8 |
1 |
Оказалось, коэффициенты структуры и энергоёмкости должны определяться по экспериментальным данным самостоятельно:
(при ранжировке по признаку x13имеется одна группа с неразличимыми рангами 5,5; число элементов в группе m3 = 1; 
; для x4имеем T4= 0,5).
Теснота связи между ранжировками Xk, Xj определяется коэффициентом корреляции Спирмена
(пригодна лишь в случае отсутствия объединённых рангов в ранжировках Xk, Xj). При совпадающих ранжировках (
, ; 
) имеем 
; при противоположных ранжировках (
, 
;
) справедливо 
.
При ранжировке по признаку xk имеется mk групп с неразличимыми рангами, и пусть далее nqk — число элементов в q-й группе, 
. Для ранжировки по признаку xk используется величина 
. Если q-я группа состоит лишь из одного элемента (nqk = 1), то 
= 0, и эти элементы в расчёте величины Tk фактически не участвуют. При отсутствии объединённых рангов при ранжировке по признаку xk (mk = n; n1k = n2k =... = nnk = 1) справедливо Tk = 0.
В общем случае анализ парных ранговых статистических связей производится по ранговому коэффициенту корреляции Спирмена
(если Tk иTj малы по сравнению с 
, то приближённо можно принять:
;
формула точна при Tk = Tj).
При анализе парных ранговых статистических связей между ранжировками часто пользуются ранговым коэффициентом корреляции Кендалла (связаны между собой; коэффициенты — линейные функции от числа инверсий в перестановке); если абсолютные величины их значений не слишком близки к 1 и n ³ 10, то 
» 1,5 
. Напомним, что в некоторой перестановке числа i и j составляют инверсию, если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше j. Для двух ранжировок Xk и Xj (соответствуют две перестановки xk(1), xk(2),..., xk(n)и xj(1),xj(2),..., xj(n)) естественной мерой нарушения порядка символов в одной перестановке от другой будет число s расположенных в неодинаковом порядке пар элементов (при Xk = (1, 2,..., n) указанная мера совпадает с числом инверсий в перестановке xj(1),xj(2),..., xj(n) и определяет минимальное число s транспозиций в этой перестановке, необходимых для приведения её к виду 1, 2,..., n).
Известно, при указанных выше условиях 
распределяется нормально со средним значением 
и с дисперсией 
; пространство элементарных исходов 
, состоит из N = n! всевозможных перестановок и не зависит от xk. Поскольку множество элементарных исходов W дискретно и конечно, то любое его подмножество измеримо и, следовательно, может интерпретироваться как случайное событие. При определении коэффициентов Спирмена и Кендалла речь, таким образом, идет о выборочных характеристиках ранговой связи. Возникает вопрос, как точно выборочные характеристики, определённые по указанным выше формулам, оценивают истинные теоретические значения. Теоретическими значениями коэффициентов 
, 
являются значения, вычисленные по приведенным формулам с заменой объёма выборки n объёмом N генеральной совокупности.
Доверительный интервал нормально-распределённой случайной величины 
с дисперсией 
есть интервал
; tb определяется из условия b = 2 Ф(tb), 
(tb = 1,96 при b = 0,95).
При заданном уровне значимости a следует признать наличие статистически значимой ранговой корреляционной связи, если 
и n > 10;
— 100 
% -ная точка стандартного нормального распределения 
.
При использовании коэффициента Спирмена проверка значимости осуществляется по неравенству
,
где 
— 100 % -ная точка распределения Стьюдента.
При данных таблицы 1 дисперсия 
, а доверительный интервал — 
. При b = 0,95; tb = 1,96 получим интервал — (0,797; 1,025); с учетом — 1 < < 1 искомый доверительный интервал есть (0,797; 1).
Предлагаемая методика многократно использовалась при многокритериальном синтезе сверхтяжелых и химически стойких композиционных материалов специального назначения [1…3] и подтвердилась ее эффективность.
Литература:
1. Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. — № 2 (16). — С. 138–142.
2. Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Махонин А. С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях / Молодой ученый. –2013. — № 5. — С. 42–45.
3. Гарькина И. А., Данилов А. М., Жегера К. В. Математическое программирование в управлении качеством материалов / Региональная архитектура и строительство. –2014. –№ 1. — С. 30–36.
