Библиографическое описание:

Имомов А. И. Решение краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных в Mathcad // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 6-12.

В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ на алгоритмических языках. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В вузах и научных учреждениях чаще всего применяются математические системы: MATHCAD, MATLAB, Maple, Mathematika. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления преподаваемых понятий и решения задач остаётся больше времени.

В последнее время задачи вычислительной математики [1,2] по преимуществу решают в математической системе MATHCAD [3–6]. Именно в MATHCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.

В статье алгоритмы методов конечно-разностных схем приближённого решения линейного параболического и гиперболического дифференциальных уравнений с краевыми условиями организованы в математической системе MATHCAD.

1.           Метод решения дифференциальных уравнений в MATHCAD.

Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу  в дискретной области , где - параметр дискретизации и , при , и - дискретный оператор, а переменные - дискретные функции, такие, что , , , , т. е. каркас –таблица значений функций  на сетке точек . В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ), и элементы  есть таблица значений функций. В MATHCAD идея решения дискретной задачи  очень проста и естественна: . Эта идея имеет место даже тогда, когда элементы  являются матрицами:, где  — матрицы [3–6].

Команды в MATHCAD отличаются от математических формул с лишь следующим: знак (:=) означает определение, знак равенство (=) или стрелка (→) означает вывод вычисленного значения. После знака «записывается текст замечание.

2. Дифференциальные краевые задачи и КРС [1,2].

А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения:

,,(1)

.                                    (2)

(1), (2) называется краевой задачей для параболического дифференциального уравнения (КЗ для ПДУ). Функция , удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: , , .

Явная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид:

(3)

Неявная КРС ,для ПДУ с точностью имеет вид:

(4)

К (3) и (4) необходимо присоединить начальные и краевые условия

,(5)

Явная КРС для ПДУ решается с помощью реккурентных формул:

,                 (6)

Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j сводиться к системе линейных уравнений:

.            (7)

Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная с первого слоя, решается методом прогонки.

Вводя матрицу  с коэффициентами ;

; ,

и векторы  неявную схему можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные го и го слоёв

.                                                                                (8)

В) Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения:

, ,(9)

.                  (10)

(9), (10) называется краевой задачей для гиперболического дифференциального уравнения (КЗ для ГДУ). Функция , удовлетворяющая ГДУ и краевым условиям называется точным решением: , , .

Явная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:

,

Неявная КРС ,для ГДУ с точностью имеет вид:

,

Используя матрицу , неявную схему можно записать в векторно-матричном виде,

,                                                             (11)

которая связывает неизвестные го и го слоёв.

Явная КРС для ГДУ решается с помощью рекуррентных формул: ,

.

Неявная КРС для ГДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей и, начиная со второго слоя, решается методом прогонки:

,

Для ГДУ в явной и неявной КРС аппроксимацию можно улучшить до , если аппроксимацию начальных условий взять в следующем виде:

,.

3. Организация решения КРС для ПДУ в MathCAD.

Пусть дана краевая задача для параболического уравнения (1),(2) с данными:

,.                                                               (12)

, .                                                                           (13)

A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.

Вводим в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

 «начальные данные

Given  «ПДУ, равенство жирное

 «краевые условия, равенство жирное

  «обращение к Pdesolve

 «решения ,

«выведем таблицу значений приближённого решения

«выведем таблицу значений точного решения

«выведем графики приближённого и точного решений

 

B) Решение явной КРС для ПДУ в MathCAD.

Записываем в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

 «начальные данные

 «дополнительные условия

«послойное вычисление и вывод

  «вычисление и вывод

Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.

C) Решение неявной КРС для ПДУ в MathCAD.

Записываем в окне MathCAD следующие команды:

 «область

 «сетка

  «точное решение и его каркас

 «начальные данные

 «дополнительные условия

  «ввод матрицу СЛАУ

 «ввод матрицу СЛАУ

 «вычисление

A= «выведем для контроля матрицу А

 «вывод каркаса решения

 «вывод каркаса решения

Отметим, что таблицы значений приближённого и точного решений совпадают с соответствующими таблицами из пункта А), полученными внутренней функцией Pdesolve.

4. Организация решения КРС для ГДУ в MathCAD.

Рассмотрим краевую задачу для гиперболического уравнения (9),(10) с данными:

, (12)

, . (14)

A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.

Для решения ГДУ внутренней функцией записываем следующие команды:

 «область

 «сетка

  «точное решение и его каркас

 «данные

Given  «ГДУ, равенство жирное

 «данные,

 «обращение к Pdesolve

«Выведем таблицу точного и приближённого решений

В) Решение явной КРС для ГДУ в MathCAD.

Записываем следующие команды (шаги алгоритма):

 «область

 «сетка

 «точное решение и его каркас

 «данные

 «явная КРС

«Вывод таблицу значений приближённого и точного решений:

«Только при увеличении десятичных разрядов можно увидеть разницу.

С) Решение неявной КРС для ГДУ в MathCAD.

Записываем следующие команды (шаги алгоритма):

 «область

 «сетка

 «точное решение и его каркас

 «данные

 «дополнительные условия

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание матрицы неявной КРС

 «задание правой части в КРС

«Организуем вычисления по неявной схеме

«Для контроля выведем значения приближённого решения на 0-ом, и 1-ом слоях

,

«Выведем таблицу значений точного и приближённого решений

«Выведем графики приближённого и точного решений:

 

Литература:

1.         Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1981.-456 c.

2.         Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.:ВШ, 2002.-840 с.

3.         Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе MATHCAD.СПб, 2005.-464 с.

4.         Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MATHCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.

5.         Имомов А. Организация численных методов в MATHCAD. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 15–19.

6.         Ирискулов С. С., Исманова К. Д., Олимов М., Имомов А. Численные методы и алгоритмы. MATHCAD. Учебное пособие. -Наманган, Изд-во «Наманган», 2013.-278с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle